Enunciado

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Se a mesma vazão no mesmo sistema rotativo do Problema 4.191 for não uniforme, mas variar linearmente de um máximo no raio externo até zero no raio interno, determine:

a) O torque requerido para manter o dispositivo estacionário;

b) A velocidade de rotação em regime permanente.

Passo 1

Equação:

r × F s + ∫ V C r × g ρ d ∀ + T e i x o - ∫ V C r × 2 ω × V + ω × ω × r + ω × r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C r × V ρ d ∀ + ∫ S C r × V   ρ V d A

Considerações Iniciais:

  1. Fluxo Constante;
  2. Escoamento Uniforme;
  3. Escoamento Estacionário;
  4. Sem Movimento Angular na Letra (a).

Passo 2

Letra a)

Realizando as considerações apresentadas no Passo 1, temos:

T e i x o = ∫ S C r × V   ρ V d A

T e i x o = 2 δ ∫ r 1 r 0 r ρ V 2 d r

Precisamos encontrar V . Para isso, usamos conservação em massa e o fato de a distribuição ser linear:

V = V m á x r - r 1 r 0 - r 1 e Q = 2 ⋅ 1 2 ⋅ V m á x ⋅ δ ⋅ ( r 0 - r 1 )

Temos:

V ( r ) = Q δ ⋅ r - r 1 r 0 - r 1 2

Assim:

T e i x o = 2 δ ∫ r 1 r 0 r ρ V 2 d r = 2 δ ρ ∫ r 1 r 0 r Q δ ⋅ r - r 1 r 0 - r 1 2 2 d r = 2 ρ Q 2 δ ∫ r 1 r 0 r r - r 1 r 0 - r 1 2 2 d r

Integrando:

T e i x o = ρ Q 2 r 1 + 3 r 0 6 δ ( r 0 - r 1 )

Passo 3

Calculando T e i x o :

Sendo:

δ = 2,5   m m = 2,5 x 10 - 3   m ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

Q = 3   L / s = 3 x 10 - 3   m 3 / s ;

r 0 = 300   m m = 0,3   m ;

r 1 = 300 - 250 = 50   m m = 0,05   m .

Temos:

T e i x o = 1000 ⋅ 3 x 10 - 3 2 ⋅ 0,05 + 3 ⋅ 0,3 6 ⋅ 2,5 x 10 - 3 ⋅ ( 0,3 - 0,05 ) = 2,28   N ⋅ m

Passo 4

Letra b)

Encontrando a velocidade de rotação em regime permanente.

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = ∫ S C r × V   ρ V d A

Para um VC infinitesimal de comprimento d r e seção transversal A na posição radial r , se o fluxo de entrada é Q , o fluxo de saída é Q   +   d Q e a perda através da fenda é V δ d r . Portanto, a conservação em massa leva a:

Q + d Q + V δ d r - Q = 0

∫ d Q = - ∫ V ( r ) δ d r

Sendo:

V ( r ) = Q δ ⋅ r - r 1 r 0 - r 1 2

Temos:

Q = - δ ∫ r 1 r Q δ ⋅ r - r 1 r 0 - r 1 2 d r

Q = - Q 2 r - r 1 2 r 0 - r 1 2

Na entrada, r = r 1 . Então:

Q = Q 1 = Q 2

Assim:

Q ( r ) = Q 1 - Q 2 r - r 1 2 r 0 - r 1 2 = Q 2 - Q 2 r - r 1 2 r 0 - r 1 2 = Q 2 1 - r - r 1 2 r 0 - r 1 2

Desse modo, a velocidade da água ao longo de cada rotor é

V ( r ) = Q r A = Q 2 A 1 - r - r 1 2 r 0 - r 1 2

Passo 5

Voltando na equação inicial do Passo 4:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Vamos tratar do primeiro termo da equação:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = 4 ρ ω ∫ r 1 r 0 r V ( r ) A d r = 2 ρ ω ∫ r 1 r 0 r Q 1 - r - r 1 2 r 0 - r 1 2 d r

Integrando:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = ρ Q ω ⋅ r 0 2 6 + r 1 r 0 3 - r 1 2 2

Para o segundo termo, temos:

∫ S C r × V   ρ V d A = 2 δ ∫ r 1 r 0 r V ( r ) 2 ρ d r = ρ Q 2 r 1 + 3 r 0 6 r 0 - r 1 δ

Então, a equação inicial fica:

ρ Q ω ⋅ r 0 2 6 + r 1 r 0 3 - r 1 2 2 = ρ Q 2 r 1 + 3 r 0 6 r 0 - r 1 δ

Isolando ω :

ω = Q r 1 + 3 r 0 δ ⋅ r 0 2 + 2 r 1 r 0 - 3 r 1 2 ⋅ ( r 0 - r 1 )

Passo 6

Sendo:

δ = 2,5   m m = 2,5 x 10 - 3   m ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

Q = 3   L / s = 3 x 10 - 3   m 3 / s ;

r 0 = 300   m m = 0,3   m ;

r 1 = 300 - 250 = 50   m m = 0,05   m .

Temos:

ω = 0 , 0 03 ⋅ 0,05 + 3 ⋅ 0,3 ( 2,5 x 10 - 3 ) ⋅ 0,3 2 + 2 ⋅ 0,05 ⋅ 0,3 - 3 ⋅ 0,05 2 ⋅ ( 0,3 - 0,05 ) = 40,7   r a d / s

r a d s = 9,55   r p m

ω = 389   r p m

Resposta

T e i x o = 2,28   N ⋅ m

ω = 389   r p m

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