Enunciado

Um método para determinar a condutividade térmica k   e o calor específico cp de um material está ilustrado na figura. Inicialmente, as duas amostras idênticas, de diâmetro D   =   60   m m   e espessura   L   =   10   m m , e o aquecedor delgado se encontram a uma temperatura uniforme   T i   =   23,00 ° C , enquanto envolvidos por um pó isolante térmico. Em um dado instante, o aquecedor é energizado, fornecendo um fluxo térmico uniforme q o ' ' em cada uma das interfaces das amostras, que é mantido constante por um período de tempo   Δ t o . Imediatamente após o início do aquecimento, a temperatura nesta interface, T o , está relacionada com o fluxo térmico através da expressão

T o t - T i = 2 q o ' ' t π ρ c p k 1 2

Em determinado teste, o aquecedor elétrico dissipa uma potência de 15,0   W   durante um período de Δ t o   =   120   s   e a temperatura na interface, após 30   s   de aquecimento, é   T o   ( 30   s )   =   24,57 ° C . Passado um longo intervalo de tempo após o desligamento do aquecedor, t ≫ Δ t o , as amostras atingem a temperatura uniforme de T o ( ∞ )   =   33,50 ° C . A massa específica do material das amostras, determinada através de medidas de volume e massa, é de ρ   =   3965   k g / m 3 .

Determine o calor específico e a condutividade térmica do material testado. Olhando os valores das propriedades termofísicas nas Tabelas A . 1   e   A . 2 , identifique o material das amostras testadas.

Passo 1

Bora pra mais uma questão😊. Aqui nós temos amostras idênticas de diâmetro, comprimento e densidade prescritos inicialmente a uma temperatura uniforme   T i , imprensam um aquecedor elétrico que fornece um fluxo de calor uniforme q o ' '   por um período de tempo Δ t o . São prescritas condições logo após a energização e muito tempo após a desenergização do aquecedor. Esquematicamente, temos:

Nós precisamos calcular o calor específico e a condutividade térmica do material da amostra de teste. E a partir dessas propriedades, temos que identificar o tipo de material usando a Tabelas A . 1   e   A . 2   do livro.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

  1. A transferência de calor é unidimensional nas amostras;
  2. As propriedades são constantes;
  3. A perda de calor é insignificante através de isolamento;
  4. A massa do aquecedor é desprezível.

Considerando um volume de controle sobre as amostras e o aquecedor e aplicando a conservação de energia durante o intervalo de tempo de t   =   0   a   ∞ , temos:

E e n t - E s a i = Δ E = E f - E i

Ou seja,

P Δ t o - 0 = M c p [ T ∞ - T i ]

Onde a entrada de energia é escrita pela condição de energia do primeiro caso. E a temperatura final, T f ,   pelo segundo caso. Resolvendo para   c p ,

c p = P Δ t o M c p T ∞ - T i = 15 W × 120 s 2 × 3965 k g m 3 × π × 0,060 2 4 m 2 × 0,010 m 33,50 - 23,00 ° C

Então,

c p = 765   J k g . K

Onde M = ρ V = 2 ρ π D 2 4 L é a massa das duas amostras.

Passo 3

Para o primeiro caso, a resposta térmica transiente do aquecedor é dada por:

T o t - T i = 2 q o ' ' t π ρ c p k 1 2

Isolando a condutividade térmica, temos:

k = t π ρ c p 2 q o ' ' T o t - T i 2

Onde,

q o ' ' = P 2 A s = P 2 π D 2 4 = 15 W 2 π × 0,060 2 4 m 2

q o ' ' = 2653   W / m 2

Substituindo os valores na equação de k ,

k = 30   s π × 3965 k g m 3 × 765   J k g . K 2 × 2653 W m 2 24,57 - 23,00 ° C 2

Ou seja,

k = 36,0 W m . K

Passo 4

Show! Agora nós já temos em mãos as seguintes propriedades:

ρ   =   3965   k g / m 3 ,   c p = 765   J k g . K e   k = 36,0 W m . K

A partir delas, podemos descobrir qual é o tipo de material usado através das Tabelas A . 1   e   A . 2 . Onde a Tabela A.1 serve para determinarmos se esses valores são típicos de um material metálico. Com ela, vamos ter as seguintes análises:

• Metais com baixa ρ   geralmente têm condutividades térmicas mais altas;

• Aquecimentos específicos dos materiais são de magnitude semelhante;

• O baixo valor k   da amostra é típico de maus condutores metálicos que geralmente têm

manobras específicas muito mais altas;

• Provavelmente o material não é metálico.

Já na segunda coluna da Tabela A.2 vemos que o material óxido de alumínio policristalino, tem propriedades a 300   K   correspondentes aos encontrados para as amostras.

Resposta

c p = 765   J k g . K

k = 36,0 W m . K

Material: óxido de alumínio policristalino

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