Enunciado

Condução unidimensional, em regime estacionário, com geração de energia interna uniforme ocorre em uma parede plana com espessura de 50   m m   e condutividade térmica constante igual a 5   W / ( m   ·   K ) .   Nessas condições, a distribuição de temperaturas tem a forma   T ( x )   =   a   +   b x   +   c x 2 . A superfície em x = 0 está a uma temperatura   T ( 0 )   ≡   T o   =   120 ° C . Nessa superfície, há convecção com um fluido a T ∞   =   20 ° C   com h   =   500   W / ( m 2   ·   K ) .   A superfície em x   =   L   é isolada termicamente.

(a) Utilizando um balanço de energia global na parede, calcule a taxa volumétrica de geração de energia.

(b) Determine os coeficientes a ,   b   e c   aplicando as condições de contorno na distribuição de temperaturas especificada. Use os resultados para calcular e representar graficamente a distribuição de temperaturas.

(c) Considere condições nas quais o coeficiente de transferência de calor por convecção seja dividido por dois, com a taxa volumétrica de geração de energia permanecendo inalterada. Determine os novos valores de a ,   b   e c   e use os resultados para representar graficamente a distribuição de temperaturas. Sugestão: note que T ( 0 )   não é mais   120 ° C .

(d) Sob condições nas quais a geração volumétrica de energia é dobrada e o coeficiente por convecção permanece inalterado ( h   =   500   W / ( m 2   ·   K ) ) ,   determine os novos valores de a ,   b   e c e represente graficamente a distribuição de temperaturas correspondente. Referindo-se aos resultados das partes (b), (c) e (d) como Casos 1, 2 e 3, respectivamente, compare as distribuições de temperaturas para os três casos e discuta as influências de h   e q ˙   nas distribuições.

Passo 1

Bora para mais uma questão? 😊 Aqui nós temos uma condução em estado estacionário com geração interna uniforme de energia em uma parede plana onde a distribuição de temperatura tem forma quadrática. A superfície em x   =   0   é dada e o limite em   x   =   L   é isolado termicamente.

Aqui nós precisamos calcular a taxa interna de geração de energia, determinar os coeficientes a ,   b   e c , plotar a distribuição de temperatura e rotular como Caso 1. Além disso, devemos determinar novos valores para a ,   b   e c   para condições em que o coeficiente de convecção é dividido pela metade e a taxa de geração permanece inalterada, traçar a distribuição de temperatura e rotular como Caso 2.

Por fim, devemos, determinar novos valores para a ,   b   e c   para condições em que a taxa de geração é dobrada e o coeficiente de convecção permanece inalterado, traçar a distribuição de temperatura e rotular como Caso 3. Então, vamos lá!

Passo 2

Começando pela letra (a), vamos utilizar um balanço de energia global na parede para calcular a taxa volumétrica de geração de energia.

E ˙ e n t ' ' - E ˙ s a i ' ' + E ˙ g e n ' ' = 0

Onde,

E ˙ e n t ' ' = q c o n v ' '

Então,

h T ∞ - T o + q ˙ L - 0

Isolando o q ˙ ,

q ˙ = - h T ∞ - T o / L

Substituindo os valores:

q ˙ = - 500 W m 2 . K 20 - 120 ° C 0,050 m

q ˙ = 1,0 × 10 6 W / m 3

Passo 3

Na letra (b), queremos os coeficientes a ,   b   e c   aplicando as condições de contorno na distribuição de temperaturas T ( x )   =   a   +   b x   +   c x 2 . Os coeficientes podem ser especificados aplicando as condições de contorno em x = 0 e x = L .

A condição de contorno em   x   =   0 , condição da superfície de convecção é:

E ˙ e n t ' ' - E ˙ s a i ' ' = q c o n v ' ' - q x ' ' 0 = 0

Onde,

q x ' ' 0 = - k d T d x x = 0

Então,

h T ∞ - T o - - k 0 + b + 2 c x x = 0 0

b = - h T ∞ - T o k

Substituindo os valores, temos:

b = - 500 W m 2 . K 20 - 120 ° C 5 W m . K

b = 1,0 ×   10 4 K / m

Já a condição de contorno em   x   =   L , superfície adiabática ou isolada, é:

E ˙ e n t ' ' - E ˙ s a i ' ' = - q x ' ' L = 0

Onde,

q x ' ' L = - k d T d x x = L

Então,

k 0 + b + 2 c x x = L = 0

c = - b 2 L = - 1,0 × 10 4 K m 2 × 0,050 m  

c = - 1,0 × 10 5 K / m 2

Como a superfície em x = 0 é conhecida, T 0 ≡   T o   =   120 ° C , encontramos:

T 0 =   120 ° C = a + b . 0 + c . o

a = 120 ° C

O gráfico desta alternativa é:

Passo 4

Na letra (c), queremos calcular novos valores de a ,   b   e c de modo que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja dividido por dois. Ou seja:

h 2 =   h / 2   =   250   W / m 2   ⋅ K

Onde q   =   1   ×   10 6   W / m 3 e outros parâmetros permanecem inalterados, exceto que Para T o =   120   °   C . Podemos determinar a ,   b   e c   para a expressão da distribuição de temperatura repetindo as análises das partes (a) e (b). Então, faremos um balanço de energia geral na parede:

a = T o = q ˙ L h + T ∞ = 1 × 10 6 W m 3 × 0,050 m 250 W m 2 . K + 20 ° C

a = 220 ° C

Para o balanço de energia na superfície em que x = 0 , temos:

b = - h T ∞ - T o k = - 250 W m 2 . K 20 - 220 ° C 5 W m . K

b = 1,0 × 10 4 K / m

Já para o balanço de energia na superfície em que x = L , temos:

c = - b 2 L = - 1,0 × 10 4 K m 2 × 0,050 m  

c = - 1,0 × 10 5 K / m 2

Graficamente, temos:

Passo 5

Na letra (d), queremos calcular novos valores de a ,   b   e c sob condições nas quais a geração volumétrica de energia é dobrada e o coeficiente por convecção permanece inalterado, ou seja:

q 3   =   2 q ˙   =   2   ×   10 6   W / m 3           e                   h   =   500   W / m 2 ⋅ K  

Onde os outros parâmetros permanecem inalterados, exceto para T o ≠   120   °   C . Seguindo o raciocínio da alternativa (c), os coeficientes para a nova distribuição de temperatura são:

a = 220 ° C

b = 2,0 ×   10 4 K / m

c = - 2,0 × 10 5 K / m 2

E o gráfico é:

Resposta

  1. q ˙ = 1,0 × 10 6 W / m 3
  2. a = 120 ° C , b = 1,0 ×   10 4 K / m e c = - 1,0 × 10 5 K / m 2
  3. a = 220 ° C , b = 1,0 ×   10 4 K / m e c = - 1,0 × 10 5 K / m 2
  4. a = 220 ° C , b = 2,0 ×   10 4 K / m e c = - 2,0 × 10 5 K / m 2

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