Enunciado

Modifique o Problema P5.61 da seguinte forma: seja omega = 32 r/s e Q = 24 m3/h para uma bomba geometricamente semelhante. Qual é o diâmetro máximo se a potência não deve ultrapassar 300 W? Resolva este problema reformatando os dados da Figura P5.61 para fazer um gráfico da potência adimensional em função do diâmetro adimensional. Use esse gráfico para determinar diretamente o diâmetro.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, nós vamos tentar uma abordagem diferente para o Problema 5.61. Lá, a gente tinha um protótipo de uma bomba centrífuga, onde foram deduzidos dois grupos adimensionais, dados por:

Π 1 = P ρ Ω 3 D 5

Π 2 = Q Ω D ³

Sendo: P a potência da bomba; ρ a massa específica do fluido; Ω a rotação da bomba; D o diâmetro do rotor da bomba e Q a vazão volumétrica do escoamento.

Além disso, o gráfico do Problema 5.61 nos fornece uma relação entre esses dois grupos adimensionais:

Π 1 = 0,5 + 3 Π 2

O enunciado desta questão pede que a gente encontre o diâmetro do rotor D para uma potência P = 300   W , Ω = 32   r p s e   Q   = 6,67 × 10 - 3   m ³ / s bombeando gasolina ( ρ = 680   k g / m ³ ).

Mas qual é nosso problema? Se a gente fizesse um gráfico de Π 1 em função de Π 2 ficaria muito difícil resolver pra encontrar D , pois o termo está no denominador dos dois grupos adimensionais com potências diferentes.

A questão propõe então que a gente faça uma reformatação do problema e construa um gráfico de um novo termo de potência adimensional e encontre o valor de D para essa situação.

Então vem comigo pra gente resolver esse problema juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos encontrar um novo grupo adimensional Π 3 que não dependa de D e dependa diretamente de Π 1 e Π 2 .

Vamos analisar novamente Π 1 :

Π 1 = P ρ Ω 3 D 5

Para eliminar D deveríamos multiplicar ambos os lados da equação por D 5 . Mas se quisermos manter a equação adimensional, devemos na verdade multiplicar por Ω 5 / 3 D 5 / Q 5 / 3 , pois assim as dimensões se cancelam.

Dessa forma, Π 3 será dado por:

Π 3 = P ρ Ω 3 D 5 Ω 5 / 3 D 5 Q 5 / 3  

Mas se você prestar atenção vai ver que o grupo Ω 5 / 3 D 5 / Q 5 / 3 na verdade é nada mais que 1 / Π 2 5 / 3 . Sendo assim:

Π 3 = P ρ Ω 3 D 5 Ω D 3 Q 5 / 3 = Π 1   Π 2 5 / 3 = P ρ Ω 4 / 3 Q 5 / 3

Passo 3

Com a expressão obtida no passo anterior e com a relação entre Π 1 e Π 2 demonstrada no Passo 1, podemos simplesmente construir um gráfico de Π 3 em função de Π 2 , como demonstrado abaixo:

Para essa curva, um ajuste de potência foi realizado, resultando na equação Π 3 = 2,8217 Π 2 - 1,227 .

Agora, vamos calcular o valor de Π 3 para as especificações do enunciado:

Π 3 =   P ρ Ω 4 / 3 Q 5 / 3 = 300   W 680 k g m 3 32   r p s 4 / 3 6,67 × 10 - 3 m 3 s 5 / 3 = 18,37

Substituindo em nosso ajuste polinomial, encontramos um valor de Π 2 = 0,217 .

Com esse resultado, podemos finalmente calcular D e finalizar o problema:

6,67 × 10 - 3 m 3 s 32   r p s D ³ =   0,217

D = 0,099   m

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O máximo diâmetro do rotor para a qual a potência não ultrapassará 300   W é D = 0,099   m

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