Enunciado

Mostre que o escoamento de Couette linear entre placas na Figura 1.6 tem uma função corrente, mas não tem potencial de velocidade. Qual é a razão disso?

Passo 1

Bora pra mais uma!

Devido a condição de não deslizamento, temos que a velocidade na parede será V=0. Podemos relacionar então o perfil de velocidades no eixo x com a altura em função de y, da forma que:

u = V y h

Daí, temos da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ V ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

0 + 0 + 0 = 0

Como a equação é satisfeita, isso nos traduz que a função corrente ψ   existe. Portanto:

u = V y h = ∂ ψ ∂ y ; v = 0 = - ∂ ψ ∂ x

Integrando em relação a y, temos:

ψ = V y 2 2 h + C ( x )

Agora, integrando em relação a x:

ψ = C ( y )

Comparando as duas equações obtemos a função corrente:

ψ x , y = V y 2 2 h + C  

Passo 2

Agora, da irrotacionalidade, temos:

ω z = 1 2 ( ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y )

Verifiquemos então se esta equação é igual a zero:

0 = ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 0 - V h ≠ 0

A equação acima nos traduz que o escoamento é rotacional, portanto, não há uma função potencial de velocidade.

Resposta

A função corrente conforme deduzida acima é ψ x , y = V y 2 2 h + C  

Onde C é uma constante.

E, pelo fato do escoamento ser rotacional, não há uma função potencial de velocidade.

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