Enunciado

Mostre que o padrão de escoamento laminar bidimensional

com dp/dx = 0

u = U 0 1 - e C y                                   v = v 0 < 0

é uma solução exata para as equações de camada-limite (7.19). Determine o valor da constante C em termos dos parâmetros do escoamento. As condições de contorno são satisfeitas? O que esse escoamento pode representar?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Em primeiro lugar, vamos observar a Equação (7.19b), dada na página 470:

u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = μ ρ ∂ ² u ∂ y ²

Vamos substituir a função u e a velocidade v = v 0 fornecidas no enunciado:

U 0 1 - e C y ∂ ∂ x U 0 1 - e C y + ( v 0 ) ∂ ∂ y U 0 1 - e C y = μ ρ ∂ ² ∂ y ² U 0 1 - e C y

Analisando a equação acima, sabemos que ∂ u ∂ x = 0 , pois u não depende de x .

Além disso:

∂ ∂ y U 0 1 - e C y = - U 0 C e C y

∂ ² ∂ y ² U 0 1 - e C y =   ∂ ∂ y - U 0 C e C y = - U 0 C ² e C y  

Voltando a substituir isso na equação:

0 - v 0 U 0 C e C y = - μ ρ U 0 C ² e C y

Reorganizando a equação para explicitar C :

C = v 0 ρ μ   = c o n s t a n t e < 0

Demonstramos, assim, que a função satisfaz como solução das equações da camada-limite e ainda encontramos uma expressão para a constante C em função da velocidade v 0 , que é negativa.

Passo 2

Além disso, podemos demonstrar que as condições de contorno para o escoamento em uma placa plana são satisfeitos para esse perfil de velocidades.

A função tem que garantir y =   0   , u = 0 . Vamos ver se isso ocorre:

u 0 = U 0 1 - e C 0       = U 0 1 - 1 = 0                          

Logo, esta condição é sim satisfeita.

A próxima condição de contorno é y → ∞ ,   u → U 0 . Vamos checar isso:

u y → ∞ = U 0 1 - e C ∞      

Pode parecer que u irá ao infinito. No entanto, vamos lembrar que no Passo anterior deduzimos que C < 0 .Logo, e C ∞ = 0 e, portanto, u → U 0 , demonstrando que a condição de contorno é satisfeita.

Passo 3

Por fim , o enunciado nos pede pra explicar qual o sentido físico da velocidade v 0 ser negativa.

Bem, devemos relembrar que v 0 é a velocidade na direção y e ela ser negativa, significa que está apontando para baixo, na direção oposta à corrente livre.

Isso significa que temos uma placa plana com drenagem de fluido na parede. Seria algo como a imagem abaixo:

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

A constante C é C = v 0 ρ μ < 0

A função satisfaz y =   0 ,   u = 0 e y → ∞ ,   u → U 0

O significado físico de v 0 < 0 é de que temos uma placa plana com drenagem de fluido em sua parede

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