Enunciado

Mostre que qualquer função diferenciável f ( z ) do número complexo z = x + i y conduz a um potencial válido (a parte real de f ) e a uma função de corrente correspondente (a parte negativa imaginária de f ) de um escoamento irrotacional e incompressível. Para fazer isso, prove, usando a regra da cadeia, que f ( z ) satisfaz automaticamente a equação de Laplace. Então, mostre que d f d z = - u + i v .

Passo 1

Vamos lá, fazer o que o exercício nos pede!

Bom, nosso enunciado não nos deu a função f ( z )

Como faremos?

Vamos começar investigando para encontrar a função d f d z . Primeiro representando a parte real:

∂ f ∂ x = ∂ z ∂ x * ∂ f ∂ z = 1 * d f d z

Agora vamos fazer o mesmo, para a parte imaginária:

∂ f ∂ x = ∂ z ∂ x * ∂ f ∂ z = i * d f d z

Agora vamos partir para o segundo passo!

Passo 2

Da mesma forma que fizemos as considerações para a primeira derivada, isso também é verdade para a segunda, primeiro para a parte real:

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = d d z d f d z = d 2 f d z 2

Agora vamos fazer o mesmo, para a parte imaginária:

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = i d d z i d f d z = - d 2 f d z 2

Vamos ver então, se fazendo isso teremos uma função f ( z ) que satisfaz a equação de Laplace:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

d 2 f d z 2 - d 2 f d z 2 = 0

Show! Agora precisamos mostrar que d f d z = - u + i v , vamos fazer isso no próximo passo!

Passo 3

Agora para a gente provar, só temos que lembrar da equação que escrevemos ali em cima:

d f d z = ∂ f ∂ x

E sendo f ( z ) uma função que envolve números complexos, temos que:

∂ ( φ - i ψ ) ∂ x = ∂ φ ∂ x - i ∂ ψ ∂ x = - u + i v

Da mesma forma:

d f d z = 1 i ∂ f ∂ y

1 i ∂ ( φ - i ψ ) ∂ y = - i ∂ φ ∂ y - ∂ ψ ∂ y = i v - u

Show! Mostramos que:

d f d z = - u + i v

Arrasamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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