Enunciado

Um objeto, de forma irregular, possui um comprimento característico L = 1 m e é mantido a uma temperatura superficial uniforme Ts = 400 K. Quando colocado ao ar atmosférico, a uma temperatura T∞ = 300 K e movendo-se a uma velocidade V = 100 m/s, o fluxo térmico médio da superfície do objeto para o ar é de 20.000 W/m2. Se um segundo objeto com a mesma forma, mas com um comprimento característico L = 5 m, for mantido a uma temperatura superficial Ts = 400 K e colocado ao ar atmosférico a uma temperatura T∞ = 300 K, qual será o valor do coeficiente convectivo médio se a velocidade do ar for V = 20 m/s?

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Bem, temos dois objetos de mesma forma irregular, que estão em contato com ar atmosférico e trocando calor por convecção. Dessa forma, queremos calcular os coeficientes de convecção médios para os dois casos.

Para isso, primeiro devemos lembrar que o número de Nusselt é:

N u =   h - L k f

Sendo h - o coeficiente de convecção médio, L o comprimento característico do objeto de forma irregular e k f a condutividade térmica do fluido em questão (ar).

Dessa maneira, o número de Nusselt pode ser entendido como uma função dos números de Reynolds e Prandtl, como segue:

N u = f R e L , P r

Esses últimos adimensionais podem ser calculados da seguinte forma:

R e L = V L ν

Pr ⁡ =   μ c P k

Sendo V a velocidade de escoamento do ar, L o comprimento característico do objeto de forma irregular, ν a viscosidade cinemática do ar, μ   a viscosidade dinâmica do ar,   c P o calor específico do ar e k a condutividade térmica do ar.

No próximo passo, vamos então combinar esses adimensionais e analisar os casos específicos dos dois objetos para calcular seus coeficientes de transferência de calor.

Antes da gente passar pro próximo passo, guarde aqui algumas grandezas que a gente vai usar, lembrando que eu dividi os casos entre 1 e 2 pra ficar mais fácil pra você:

T S =   400   K ,   T ∞ = 300   K q 1 = 20.000 W m ² L 1 = 1   m ,   L 2 = 5     m   V 1 = 100   m s   ,   V 2 = 20 m s

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular os números de Reynolds para as duas situações:

R e L , 1 = V 1 L 1 ν 1 = 100 1   ν 1 = 100 ν 1

R e L , 2 = V 2 L 2 ν 2 = 20 5   ν 2 = 100 ν 2

Como o enunciado da questão deixa claro, tanto na situação um quanto na situação 2, a temperatura da superfície do objeto ( T S ) e do fluido ( T ∞ ) são iguais.

Como a viscosidade cinemática é uma propriedade que depende da temperatura, então ν 1 = ν 2 . Olhando para os números de Reynolds lá em cima, isso nos faz concluir que R e L , 1 = R e L , 2 .

Vamos agora olhar pros números de Prandtl para as duas situações:

Pr 1 ⁡ =   μ 1 c P 1 k 1

Pr 2 ⁡ =   μ 2 c P 2 k 2

Novamente, todas as propriedades utilizadas para calcular o número de Prandtl são dependentes temperatura do ar, o que significa dizer que P r 1 = P r 2 .

Nesse momento, vamo voltar pro Passo 1. Lembra que eu te mostrei que o número de Nusselt é uma função dos função dos números de Reynolds e Prandtl? Ou seja, como esses dois adimensionais são iguais pras situações 1 e 2, nossa conclusão é que:

N u 1 = N u 2

Logo,

h - 1 L 1 k 1 = h - 2 L 2 k 2 → h - 1 L 1 = h - 2 L 2

Podemos reorganizar a equação para deixar h - 2 em função de h - 1 , e calcular os dois no próximo passo.

h - 2 = h - 1   L 1 L 2

Passo 3

Vamo finalizar a questão calculando os coeficientes de convecção médios para as duas situações.

Em primeiro lugar, para calcular h - 1 , devemos utilizar a equação do fluxo transferência de calor por convecção:

q 1 ' ' = h - 1   ( T S - T ∞ )

Como o fluxo foi fornecido pelo enunciado, basta que a gente apenas substitua valores:

h - 1 =   q 1 ' ' T S - T ∞ =   20.000 W m 2 400   K - 300   K = 200 W m 2 . K

Por fim, vamo calcular agora h - 2 pela relação que deduzimos no Passo 2:

h - 2 = h - 1   L 1 L 2 = 200 W m 2 . K 1   m 5   m = 40 W m ² K

Pronto, matamos a questão juntos! :)

Resposta

Os coeficientes de convecção média para as duas situações foram h - 1 =   200 W m 2 . K e h - 2 = 40 W m ² K .

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