Enunciado

Experimentos mostraram que, para um escoamento de ar a T∞ = 35°C e V1 = 100 m/s, a taxa de transferência de calor em uma pá de turbina com comprimento característico L1 = 0,15 m e temperatura superficial Ts,1 = 300°C é de q1 = 1500 W. Qual seria a taxa de transferência de calor em uma segunda pá de turbina com comprimento característico L2 = 0,3 m operando a Ts,2 = 400°C em um escoamento de ar a T∞ = 35°C e V2 = 50 m/s? A área superficial da pá pode ser considerada diretamente proporcional ao seu comprimento característico.

Passo 1

Vamo analisar o enunciado junto pra entender o que ele quer de você.

Bem, temos duas pás de turbina de mesma forma, que estão em contato com ar atmosférico e trocando calor por convecção. Dessa forma, queremos calcular os coeficientes de convecção médios para os dois casos e, depois, a taxa de transferência de calor para a segunda pá de turbina.

Para isso, primeiro devemos lembrar que o número de Nusselt é:

N u =   h - L k f

Sendo h - o coeficiente de convecção médio, L o comprimento característico do objeto de forma irregular e k f a condutividade térmica do fluido em questão (ar).

Dessa maneira, o número de Nusselt pode ser entendido como uma função dos números de Reynolds e Prandtl, como segue:

N u = f R e L , P r

Esses últimos adimensionais podem ser calculados da seguinte forma:

R e L = V L ν

Pr ⁡ =   μ c P k

Sendo V a velocidade de escoamento do ar, L o comprimento característico do objeto de forma irregular, ν a viscosidade cinemática do ar, μ   a viscosidade dinâmica do ar,   c P o calor específico do ar e k a condutividade térmica do ar.

No próximo passo, vamos então combinar esses adimensionais e analisar os casos específicos das duas turbinas para encontrar uma relação entre seus coeficientes de transferência de calor.

Em seguida, vamos calcular a taxa de transferência de calor para a turbina 2.

Antes da gente passar pro próximo passo, guarde aqui algumas grandezas que a gente vai usar, lembrando que eu dividi os casos entre 1 e 2 pra ficar mais fácil pra você:

T S , 1 =   300   ° C ,   T ∞ , 1 = 35   ° C T S , 2 =   4 00   ° C ,   T ∞ , 2 = 35   ° C q 1 = 1500   W L 1 = 0 , 1 5   m ,   L 2 = 0,3     m   V 1 = 100   m s   ,   V 2 = 5 0 m s

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular os números de Reynolds para as duas situações:

R e L , 1 = V 1 L 1 ν 1 = 100 0,15   ν 1 = 15 ν 1

R e L , 2 = V 2 L 2 ν 2 = 50 0,3   ν 2 = 15 ν 2

Como afirma o enunciado da questão, as temperaturas da superfície das duas turbinas são T S , 1 =   300   ° C e T S , 2 =   400   ° C , e a temperatura ado fluido é igual para ambas, T ∞ = 35   ° C . Como as propriedades físicas são avaliadas na temperatura do filme ( T S + T ∞ 2 ), as temperaturas das duas situações ficam numa faixa de temperatura na qual podemos considerar as propriedades do ar constantes.

Com isso em mente, e como sabemos que a viscosidade cinemática é uma propriedade que depende da temperatura, então ν 1 = ν 2 . Olhando para os números de Reynolds lá em cima, isso nos faz concluir que R e L , 1 = R e L , 2 .

Vamos agora olhar pros números de Prandtl para as duas situações:

Pr 1 ⁡ =   μ 1 c P 1 k 1

Pr 2 ⁡ =   μ 2 c P 2 k 2

Novamente, todas as propriedades utilizadas para calcular o número de Prandtl são dependentes temperatura do ar, o que significa dizer que P r 1 = P r 2 .

Nesse momento, vamo voltar pro Passo 1. Lembra que eu te mostrei que o número de Nusselt é uma função dos função dos números de Reynolds e Prandtl? Ou seja, como esses dois adimensionais são iguais pras situações 1 e 2, nossa conclusão é que:

N u 1 = N u 2

Logo,

h - 1 L 1 k 1 = h - 2 L 2 k 2 → h - 1 L 1 = h - 2 L 2

Podemos reorganizar a equação para deixar h - 2 em função de h - 1 :

h - 2 = h - 1   L 1 L 2

Passo 3

Vamo finalizar a questão calculando a taxa de transferência de calor para a segunda situação.

Em primeiro lugar, devemos lembrar das equações da taxa de transferência de calor por convecção:

q 1 = h - 1   A 1 ( T S , 1 - T ∞ )

q 2 = h - 2   A 2 ( T S , 2 - T ∞ )

Segundo o enunciado, as áreas superficiais das turbinas são diretamente proporcionais aos comprimentos característicos delas. Dessa forma, considerando uma constante de proporcionalidade m qualquer, as áreas superficiais para as duas turbinas podem ser expressas como:

A 1 = m L 1

A 2 = m L 2

E, portanto, os coeficientes de transferência de calor podem ser expressos como:

h - 1 = q 1 m L 1 ( T S , 1 - T ∞ )  

h - 2 = q 2 m L 2 ( T S , 2 - T ∞ )  

Como descobrimos uma relação entre os dois coeficientes no Passo 2, podemos encontrar a seguinte relação para as taxas de transferência de calor:

h - 2 = h - 1   L 1 L 2 → q 2 m L 2 ( T S , 2 - T ∞ ) = q 1 m L 1 ( T S , 1 - T ∞ ) L 1 L 2 → q 2 = q 1 ( T S , 2 - T ∞ ) ( T S , 1 - T ∞ )

Substituindo os valores, encontramos:

q 2 = 1500   W ( 400   ° C - 35   ° C ) ( 3 00   ° C - 35   ° C ) = 2066,04   W

Pronto, matamos a questão juntos! :)

Resposta

A taxa de transferência de calor para a segunda pá é q 2 = 2066,04   W .

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