Enunciado

Beth está estudando um fluxo rotativo em um túnel de vento. Ela mede os componentes u e v da velocidade usando um anemômetro de fio quente. Em x = 0,50   m e y =   0,20   m , u = 1 0,3 m s e v = -   5,6 m s . Infelizmente, o programa de análise de dados requer entrada nas coordenadas cilíndricas ( r ,   θ ) e ( u r , u θ ) . Ajude Beth a transformar seus dados em coordenadas cilíndricas. Especificamente, calcule r ,   θ ,   u r   e   u θ no ponto de dados fornecido.

Passo 1

Faaaaala galerinhaa!!

Animados para seguir?

Para achar r e θ não adianta chorar, temos que usar as fórmulas!

Não se lembram ? Eu mostro pra vocês !

O r é a distância radial a partir da origem:

r = x 2 + y 2

E o ângulo θ medido com relação ao eixo x :

θ = tan - 1 ⁡ y x

Lembrando que:

x = 0,50   m

y = 0,20   m

Então agora é só substituir:

r = ( 0,50 ) 2 + 0,20   m 2 = 0,447   m

θ = tan - 1 ⁡ 0,20   m 0,5 0   m = 26,565 °

Mas queremos o ângulo em radianos:

θ = 26,565 ° × π   r a d 180 ° = 0 , 4636   r a d

Portanto para a posição:

0,4   m ,   0,2   m = 0,447   m ,   0,4636   r a d

Passo 2

Para as componentes da velocidade podemos olhar a Figura P9.14:

Agora que já achamos os ângulos nós podemos achar o u r em relação ao eixo x e ao eixo y.

Quando observamos na Figura nós podemos montar um triângulo em função de u r ,   u ,   v   e   θ , quando fazemos isso encontramos:

u r x u = cos ⁡ θ

u r y v = sen ⁡ θ

O que nos trás uma componente na direção x:

u r x = u . cos ⁡ θ

E na direção y:

u r y = v sen ⁡ θ

Portanto, a componente u r é a soma destas duas, certo?

u r = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ

A mesma coisa para u θ :

u θ x = - u . sen ⁡ θ

u θ y = v . cos ⁡ θ

E a componente u θ :

u θ = - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

Sendo assim:

u r ,   u θ = u . cos ⁡ θ + v sen ⁡ θ ,   - u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

Substituindo:

u = 1 0,3 m s

v = -   5,6 m s

E o ângulo que achamos:

u r ,   u θ = 1 0,3 m s . cos ⁡ 26,565 ° + -   5,6 m s sen ⁡ 26,565 ° ,   - 1 0,3 m s . sen ⁡ 26,565 ° + -   5,6 m s . cos ⁡ 26,565 °

u r ,   u θ = 6,708 m s ,   - 9,615 m s

E é isso aí !! Achamos tudo o que precisamos!

Resposta

0,4   m ,   0,2   m = 0,447   m ,   0,4636   r a d

u r ,   u θ = 6,708 m s ,   - 9,615 m s

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