Enunciado

Um óleo viscoso escoa em regime permanente entre duas placas paralelas estacionárias. O escoamento é laminar e completamente desenvolvido. O gradiente de pressão é 1,25 kPa/m e a meia-altura do canal é h = 1,5   m m . Calcule o módulo e o sentido da tensão de cisalhamento na superfície da placa superior. Determine a vazão em volume através do canal ( μ = 0,50   N . s / m 2 ) .

Passo 1

Tá legal, podemos tratar esse exercício como sendo um escoamento laminar com gradiente de pressão entre placas estacionárias e paralelas, considerando as coordenadas no centro do escoamento, então, a o perfil de velocidade será dada pela equação 8.7 vista nessa seção:

u = a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - 1 4

E, sabemos que a tensão de cisalhamento será dada por:

τ y x = μ d u d y

Precisamos agora encontrar a derivada da velocidade em relação a y . Então, teremos:

d u d y = a 2 2 μ ∂ p ∂ x 2 y a 2 → d u d y = y μ ∂ p ∂ x

E substituindo essa expressão na equação anterior, temos:

τ y x = μ y μ ∂ p ∂ x → τ y x = y ∂ p ∂ x

Na parede, onde temos y = h / 2 , substituindo o que acabamos de encontrar:

τ y x = h 2 ∂ p ∂ x

E agora substituindo os valores conhecidos (lembrando que apesar de o enunciado não ter colocado o sinal, o gradiente de pressão é sempre negativo), temos:

τ y x = 3.10 - 3 2 - 1250 → τ y x = - 1,875   N / m 2

Considerando um sistema de coordenadas onde o x do nosso sistema está crescendo em relação à esquerda do escoamento e como acabamos de ver que a face superior é negativa em y , o escoamento está indo da direita pra esquerda enquanto a tensão de cisalhamento age da esquerda para a direita, por isso é negativo!

Passo 2

Agora, para encontrar a vazão volumétrica pode ser encontrada através da sua definição, dada por:

Q = ∫ A   u d A = ∫ - h 2 h 2 u b d y

Pela definição de integral e devido a simetria do perfil de velocidade do escoamento, temos:

Q = 2 ∫ 0 h 2 u b d y = 2 b ∫ 0 h 2 u d y

Então, substituindo o perfil de velocidade nessa equação, temos:

Q = 2 b ∫ 0 h 2 a 2 2 μ ∂ p ∂ x y a 2 - 1 4 d y

Q = b a 2 μ ∂ p ∂ x ∫ 0 h 2 y a 2 - 1 4 d y

Resolvendo a integral, temos:

Q = b a 2 μ ∂ p ∂ x 1 3 a 2 y 3 - y 4 0 h 2

Substituindo os limites de integração (lembrando que na dedução feita dessa equação temos a = h ), temos:

Q = b h 2 μ ∂ p ∂ x 1 3 h 2 h 2 3 - 1 4 h 2 - 0

Q = b h 2 μ ∂ p ∂ x h 24 - h 8 → Q = b a 2 μ ∂ p ∂ x h - 3 h 24 → Q b = - h 3 12 μ ∂ p ∂ x

Passo 3

Agora, substituindo os valores conhecidos na equação encontrada no passo 2, temos:

Q b = - 3.10 - 3 3 12 0,5 - 1250 → Q b = 5,62 . 10 - 6   m 3 / s / m

Resposta

τ y x = - 1,875   N / m 2   ( d i r e i t a )

Q b = 5,62 . 10 - 6   m 3 / s / m

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