Enunciado

Uma parede de 10 cm de espessura deve ser construída com vigas de madeira k = 0,11 W m . K de 2,5 m de comprimento com seção transversal de 10   c m × 10   c m . Em algum momento, o construtor ficou sem as vigas e começou a usar pares de vigas de madeira de 2,5 m de comprimento com seção transversal de 5   c m ×   10   c m pregadas uma na outra. Os pregos de aço manganês k = 50 W m . K são de 10 cm de comprimento e 0,4 cm de diâmetro. Um total de 50 pregos é usado para conectar as duas vigas, que são montados na parede de tal forma que os pregos atravessem a parede. A diferença de temperatura entre as superfícies interna e externa da parede é de 8°C. Supondo que a resistência de contato térmico entre as duas camadas seja insignificante, determine a taxa de transferência de calor:

  1. Através da viga sólida;
  2. Através de um par de vigas de mesmo comprimento e largura pregadas uma a outra;
  3. Determine também a condutividade efetiva do par de vigas pregadas.

Passo 1

Bora pra mais uma galera??

Claro que sim!!

Na viga sólida nós teremos apena uma resistência à transferência de calor, certo?

Para a letra a temos a viga com 2,5 m de altura e 0,1 m de comprimento, então vamos calcular a área:

A a = 2,5   m × 0,1   m = 0,25   m 2

E a resistência?

R a = L v i g a   s ó l i d a k v i g a   s ó l i d a A a

Lembrando que:

L v i g a   s ó l i d a = 0,1   m

k v i g a   s ó l i d a = 0,11 W m . K

Substituímos:

R a = 0,1   m 0,11 W m . K × 0,25   m 2 = 3,636 K W

E como calculamos a taxa de transferência de calor?

Q ˙ = ∆ T R a

Lançando nossos dados:

Q ˙ = 8 ° C 3,636 K W

Como a variação em graus Celsius é a mesma que a variação em kelvin:

Q ˙ = 2,2   W

Tranquilo até aqui ?!

Passo 2

Bora pra letra b !!

Quando nós temos o par de vigas unidos pelos pregos devemos analisar a resistência total, referente aos dois pedaços de madeira e aos pregos, certo?

Se elas estão em paralelo:

1 R T = 1 R d u a s   v i g a s + 1 R p r e g o s

Começando pela resistência dos 50 pregos, a área será:

A p r e g o s = 50 × π d 2 2 = 50 × π 0,004   m 2 2

A p r e g o s = 0,000628   m 2

E a resistência:

R p r e g o s = L p r e g o s k p r e g o s A p r e g o s

R p r e g o s = 0,1   m 50 W m . K × 0,000628   m 2 = 3,18 K W

Como as duas vigas terão o mesmo tamanho da viga anterior a nova resistência deverá levar em conta que a nova área será a área da viga inteira menos os preguinhos, né?

A b = A a - A p r e g o s

Na fórmula:

R d u a s   v i g a s = 0,1   m 0,11 W m . K × ( 0,25   m 2 - 0,000628   m 2 ) = 3,65 K W

Bora colocar na resistência total, tá bom?

1 R T = 1 3,65 K W + 1 3,18 K W

R T = 1,70   K W

Para o calor:

Q ˙ = 8 ° C 1,70   K W

Como a variação em graus Celsius é a mesma que a variação em kelvin:

Q ˙ = 4,7   W

Passo 3

Vamos para a última letra galerinhaaa !!

Antes de qualquer coisa, como nós calculamos a condutividade efetiva?

Simples !! Basta usarmos a fórmula:

Q ˙ = k e f e t i v o A . ∆ T L

Isolamos para facilitar:

k e f e t i v o = Q ˙ . L ∆ T . A

Usando o fluxo de calor que achamos na letra b para as placas pregadas, o seu comprimento e a área aproximada de 0,25   m 2 :

k e f e t i v o = 4,7   W × 0,1   m 8 K × 0,25   m 2

k e f e t i v o = 0,235 W m . K

Gostaram?

Resposta

  1. 2,2   W ;
  2. 4,7   W ;
  3. 0,235 W m . K .
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