Enunciado

Uma parede é feita com um material não homogêneo (não uniforme) no qual a condutividade térmica varia ao longo da espessura na forma k = a x + b , sendo a e b constantes. Sabe-se que o fluxo térmico é constante. Determine expressões para o gradiente de temperatura e para a distribuição de temperaturas quando a superfície em x = 0 está a uma temperatura T 1 .

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão para fortalecer nossos conhecimentos? Partiu!

Eita! Essa questão só deu letras pra gente resolver…

Relaxa que a gente consegue junto! Vamos ver o que ela quer…

A gente precisa achar expressões para o gradiente de temperatura e para a distribuição de temperaturas, vamos nessa então! O enunciado nos disse o seguinte:

q x "   =   -   k   .   d T d x   =   constante

E com a equação dada de k , a gente pode escrever da seguinte forma:

d T d x   =   -   q x " k

d T d x   =   -   q x " a x + b

Passo 2

Beleza! Agora vamos integrar a equação que achamos no passo 1, certo?

∫ d T d x   .   d x   =   - ∫   q x " a x + b   .   d x

∫ d T d x   .   d x   =   - q x "   .   ∫   1 a x + b   .   d x

T =   -   q x " a   .   l n ( a x + b ) + c

Show! Agora precisamos descobrir quem é essa constante, beleza?

O enunciado nos diz o seguinte que em x = 0 :

T = T 1

Então vamos substituir isso aí lá na equação, ok?

  -   q x " a   .   l n ( a   .   0 + b ) + c = T 1

c = T 1 + q x " a   .   l n   b

Passo 3

Já temos quem é o c , né? Então vamos substituir lá na equação, show?

T =   -   q x " a   .   l n ( a x + b ) + T 1 + q x " a   .   l n   b

T = T 1 + q x " a   .   l n b a x + b

Show! Conseguimos!

Resposta

T = T 1 + q x " a   .   l n b a x + b

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