Enunciado

Uma parede plana de espessura 0,6 m (L = 0,3 m) é feita de aço (k = 30 W/(m · K), ρ = 7900 kg/m³, c = 640 J/(kg · K)). Ela está inicialmente a uma temperatura uniforme e é, então, exposta ao ar em suas duas superfícies. Considere duas condições de convecção diferentes: convecção natural, caracterizada por h = 10 W/(m² · K), e convecção forçada, com h = 100 W/(m² · K). Você deve calcular a temperatura na superfície em três instantes diferentes: t = 2,5 min, 25 min e 250 min, para um total de seis diferentes casos.

(a) Para cada um desses seis casos, calcule a temperatura adimensional na superfície, θ s * = ( T s - T ∞ ) / ( T i - T ∞ ) , usando quatro métodos diferentes: solução exata, primeiro termo da solução em série, capacitância global e sólido semi-infinito. Apresente os seus resultados em uma tabela.

(b) Explique rapidamente as condições para as quais (i) a solução com o primeiro termo é uma boa aproximação para a solução exata, (ii) a solução da capacitância global é uma boa aproximação, (iii) a solução do sólido semi-infinito é uma boa aproximação.

Passo 1

Prepara que esse é longo! Vamos começar a letra (a) pelo método da solução exata. Nesse caso, vamos recorrer à equação 5.42a, que é dada por:

θ * = ∑ n = 1 ∞ C n exp ⁡ - ξ n 2 F o cos ⁡ ( ξ n x * )

Então, como estamos avaliando a temperatura na superfície, nosso θ * será:

θ s * = T s - T ∞ T i - T ∞

E o nosso x * será:

x * = 1

Então, a equação para θ * será:

θ s * = T s - T ∞ T i - T ∞ = ∑ n = 1 ∞ C n exp ⁡ - ξ n 2 F o cos ⁡ ( ξ n )

Agora nós vamos calcular os diferentes valores de F o para os intervalos de tempo, então, sabendo que F o é dado por:

F o = α t L 2 = k t ρ c L 2

Substituindo os valores conhecidos para os intervalos de tempo, temos:

t = 2,5   m i n → F o = 30 2,5 60 7900 640 0,3 2 → F o = 0,0099

t = 2 5   m i n → F o = 30 2 5 60 7900 640 0,3 2 → F o = 0,0989

t = 250   m i n → F o = 30 250 60 7900 640 0,3 2 → F o = 0,9889

Passo 2

Agora nós vamos calcular o número de Biot, para o caso de convecção natural, para poder encontrar os valores de ξ n na tabela B.3, então, temos:

B i = h L k = 10 0,3 30 → B i = 0,1

E o número de Biot para convecção forçada será:

B i = 100 0,3 30 → B i = 1

Nesse caso, vamos calcular para o caso de convecção natural. Então, os quatro primeiros termos de ξ n serão:

n = 1 → ξ 1 = 0,3111

n = 2 → ξ 2 = 3,1731

n = 3 → ξ 3 = 6,2991

n = 4 → ξ 4 = 9,4354

Agora, com esses valores, vamos encontrar os valores de C n , dados pela equação 5.39b vista nesse capítulo:

C n = 4 sen ⁡ ξ n 2 ξ n + sen ⁡ 2 ξ n

Então, substituindo os valores de ξ n , chegamos em:

ξ 1 = 0,3111 → C 1 = 1,016

ξ 2 = 3,1731 → C 2 = - 0,0197

ξ 3 = 6,2991 → C 3 = 0,0050

ξ 4 = 9,4354 → C 4 = - 0,0022

Então, agora podemos calcular a expressão para θ s * descrita no passo 1, então, para t = 2,5 min, temos a seguinte tabela:

Então, como o quarto termo já é bem pequeno, não precisamos calcular o quinto, e essa é uma boa aproximação para a solução exata. Dessa forma então, temos:

θ s * = 0,9664 + 0,0178 + 0,0034 + 0,0009 → θ s * = 0,989

Repetindo os cálculos para t = 25 min e t = 250 min, chegamos em:

t = 25   m i n → θ s * = 0,967

t = 250   m i n → θ s * = 0,877

Repetindo o procedimento para convecção forçada, com B i = 1 , nós chegamos nos seguintes resultados:

t = 2,5   m i n → θ s * = 0,902

t = 2 5   m i n → θ s * = 0,722

t = 250   m i n → θ s * = 0,351

Passo 3

Agora, utilizando o método do primeiro termo da solução em série, que foi apresentada no passo 2, para convecção natural temos os seguintes resultados:

t = 2,5   m i n → θ s * = 0,966

t = 25   m i n → θ s * = 0,959

t = 250   m i n → θ s * = 0,875

E, para conveccção forçada temos:

t = 2,5   m i n → θ s * = 0,723

t = 25   m i n → θ s * = 0,681

t = 250   m i n → θ s * = 0,350

Beleza! Agora nós vamos utilizar o método da capacitância global, onde temos, da equação 5.6, que a temperatura adimensional é dada por:

θ * = exp ⁡ - h A s t ρ V c = exp ⁡ - h L 2 t ρ L 3 c → θ * = exp ⁡ - h t ρ L c

Então, substituindo os valores conhecidos para convecção natural e para os diferentes intervalos de tempo, temos:

t = 2,5   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 2,5 60 7900 0,3 640 → θ * = 0,999

t = 2 5   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 2 5 60 7900 0,3 640 → θ * = 0,990

t = 2 5 0   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 250 60 7900 0,3 640 → θ * = 0 , 906

Repetindo os cálculos para convecção forçada, temos:

t = 2,5   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 0 2,5 60 7900 0,3 640 → θ * = 0,990

t = 25   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 0 2 5 60 7900 0,3 640 → θ * = 0,906

t = 250   m i n → θ * = exp ⁡ - 10 0 250 60 7900 0,3 640 → θ * = 0 , 372

Passo 4

Agora vamos utilizar o método do sólido semi-infinito, então, da equação 5.63 vista nessa seção, temos:

T x , t - T i T ∞ - T i = erfc ⁡ x 2 α t - exp ⁡ h x k + h 2 α t k 2 e r f c x 2 α t + h α t k

Como estamos interessados na superfície, então iremos calcular em x = 0 , dessa forma, a equação acima se torna:

T 0 , t - T i T ∞ - T i = T s - T i T ∞ - T i = erfc ⁡ 0 2 α t - exp ⁡ h ( 0 ) k + h 2 α t k 2 e r f c 0 2 α t + h α t k

T s - T i T ∞ - T i = 1 - exp ⁡ h 2 α t k 2 e r f c h α t k

No entanto, nosso θ * é dado por:

θ * = T s - T ∞ T i - T ∞ = 1 - T s - T i T ∞ - T i

Então, substituindo a expressão acima, temos:

θ * = 1 - 1 - exp ⁡ h 2 α t k 2 e r f c h α t k → θ * = exp ⁡ h 2 α t k 2 e r f c h α t k

Passo 5

Nós podemos escrever as expressões dentro de e x p e de e r f c em função de Biot e de F o , nos quais os valores já são conhecidos, então, teremos:

θ * = exp ⁡ B i 2 F o erfc ⁡ B i F o 1 2

Substituindo os valores conhecidos para os diferentes intervalos de tempo, temos:

t = 2,5   m i n → θ * = exp ⁡ 0,1 2 0,0099 erfc ⁡ 0,1 0,0099 1 2 → θ * = 0,989

t = 2 5   m i n → θ * = exp ⁡ 0,1 2 0,0989 erfc ⁡ 0,1 0,0989 1 2 → θ * = 0,968

t = 25 0   m i n → θ * = exp ⁡ 0,1 2 0,9889 erfc ⁡ 0,1 0,9889 1 2 → θ * = 0,898

Agora, repetindo os cálculos para convecção forçada, temos:

t = 2,5   m i n → θ * = exp ⁡ 1 2 0,0099 erfc ⁡ 1 0,0099 1 2 → θ * = 0,897

t = 25   m i n → θ * = exp ⁡ 1 2 0,0989 erfc ⁡ 1 0,0989 1 2 → θ * = 0,717

t = 250   m i n → θ * = exp ⁡ 1 2 0,9889 erfc ⁡ 1 0,9889 1 2 → θ * = 0,432

Passo 6

Agora, na letra (b), nós vamos analisar os resultados obtidos no passos anteriores. Então, para isso, vamos compilar todas as informações obtidas na tabela a seguir:

Então, para o primeiro caso (i), a solução com o primeiro termo é uma boa aproximação para a solução exata para t = 250 min, tanto para convecção natural quanto para convecção forçada.

Agora, para o caso (ii), a solução da capacitância global é uma boa aproximação para o caso onde temos convecção natural, para todos os intervalos de tempo.

E, para o caso (iii), a solução do sólido semi-infinito é uma boa aproximação para a solução exata para os intervalos de tempo de 2,5 e 25 minutos, em ambas as convecções.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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