Enunciado

Uma parede plana, com propriedades constantes, está inicialmente a uma temperatura uniforme T 0 . De repente, a superfície em x   =   L   é exposta a um processo convectivo com um fluido a T ∞ >   T 0 , com um coeficiente de transferência de calor por convecção h . Também, no mesmo instante, iniciasse na parede um aquecimento volumétrico interno uniforme q ˙ , que é suficientemente grande para induzir, no regime estacionário, uma temperatura máxima no interior da parede superior à do fluido. A superfície em x   =   0 permanece à temperatura T 0 .

(a) Em coordenadas T   –   x , esboce as distribuições de temperaturas para as seguintes condições: condição inicial ( t   ≤   0 ) , condição de regime estacionário ( t   →   ∞ ) , e dois tempos intermediários. Mostre também a distribuição de temperaturas para a condição especial na qual não há fluxo de calor na fronteira em x   =   L .

(b) Em coordenadas q x ' ' –   x , esboce o fluxo térmico nas posições x   =   0 e x   = L , ou seja, q x ' ' ( 0 ,   t ) e q x ' ' ( L ,   t ) , respectivamente.

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional com geração de energia, logo a troca de calor só ocorre em uma direção, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido do aquecimento da parede com geração de calor.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r   v o l u m é t r i c a   u n i f o r m e

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I V - T 0 > T ∞ ,   q ˙   g r a n d e   o   s u f i c i e n t e   p a r a   T x ,   ∞ > T ∞   p a r a   a l g u m a s   p o s i ç õ e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), o gráfico de T ( x ,   t ) em função do espaço. Para isso vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:

Assim nossa equação fica:

∂ 2 T ∂ x 2 + q ˙ k = 1 α ⋅ ∂ T ∂ t

Como quanto t = 0 nosso fluido aquecedor não aqueceu nossa superfície então a temperatura é T i , assim nossa equação fica:

T x , 0 = T 0

Agora pra nossas condições de contorno, na superfície contraria ao fluído aquecedor, não tem fluxo de calor. Na outra superfície o fluxo de calor vai ter o valor mínimo, ou seja:

x = 0 ,   T ( 0 ,   t ) = T 0

x = L ,   q L ' ' = - k ∂ T ∂ x L = h T L ,   t - T ∞

Resolvendo a E.D.O para esse sistema temos:

T x , t = e t + c 1 α + α q ˙ k

c 1 = ln ⁡ k T 0 a q ˙ α

Assim nosso gráfico fica:

No instante t 1 nossa parede está começando a aquecer, num instante posterior t 2 a parede está aquecida o suficiente devido a geração de calor a ponto de dissipar calor pro ambiente nas proximidades da superfície em contato com o fluído e em T x ,   ∞ a temperatura já atingiu um patamar constante em todas as seções da parede.

Passo 3

(b) Bem nosso problema nos pede uma representação gráfica da distribuição do fluxo de temperatura ao longo do tempo, usar nossos cálculos da letra (a) para nossa q ' ' x ,   t

Assim nosso gráfico fica assim.

Na parede em contato com o fluido o sentido do fluxo é para dentro da parede logo é negativo como o aquecimento por convecção ativa uma geração de calor interna eventualmente o fluxo vai invertendo e ficando positivo, assim o calor sai da parede pra fluído, já na outra superfície o sentido é de saída logo segue o sentido negativo de x como mostra essa imagem abaixo.

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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