Enunciado

Uma parede plana, que tem um de seus lados ( x   =   0 ) termicamente isolado, está inicialmente a uma temperatura uniforme T i , quando sua superfície exposta em x   =   L tem a sua temperatura subitamente elevada para T s .

(a) Verifique se a equação a seguir satisfaz à equação do calor e às condições de contorno:

na qual C 1 é uma constante e α é a difusividade térmica.

(b) Obtenha expressões para o fluxo térmico em x   =   0 e x   =   L .

(c) Esboce a distribuição de temperaturas T x em t   =   0 , em t   →   ∞ , e em um instante de tempo intermediário. Esboce a variação com o tempo do fluxo térmico em x   =   L , ( t ) .

(d) Qual o efeito de α na resposta térmica do material a uma mudança na temperatura de sua superfície?

Passo 1

Vamos lá! primeiro vamos entender nosso problema, o problema diz que se trata de um sistema unidimensional sem geração de energia, logo a troca de calor só ocorre em uma direção que no caso apresentado é a radial, vamos fazer nosso diagrama pra facilitar nossa vida.

Origem e sentido da geração de calor e da dissipação.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - C o n d u ç ã o   u n i d i m e n s i o n a l

I I - N ã o   h á   g e r a ç ã o   i n t e r n a   d e   c a l o r

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

Passo 2

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a), que deseja verificar se a equação dada se adequa as condições de contorno, assim vamos escrever nossa lei de Fourier (equação 2.21 ).

Como nossa condução é unidimensional e não há geração de energia, temos:

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 α ∂ T ∂ t

Substituindo pela equação apresentada no problema temos:

- C 1 T i - T s e - π α t 4 L 2 π 2 L 2 cos ⁡ π x 2 L = - C 1 α T i - T s π α t 4 L 2 e - π α t 4 L 2 ⋅ cos ⁡ π x 2 L

Aplicando nossas condições de contorno, temos:

x = 0 ,   q x ' ' = 0

∂ T ∂ x = - C 1 π 2 L T i - T s e - π α t 4 L 2 sen ⁡ π x 2 L = 0

T L ,   t = T s + C 1 T i - T s e - π α t 4 L 2 sen ⁡ π x 2 L = T s

Como todas as condições foram atendidas a nossa equação dada satisfaz nossas condições de contorno!

Passo 3

(b) Usando a equação da nossa primeira condição de contorno em (a), temos:

- C 1 π 2 L T i - T s e - π α t 4 L 2 sen ⁡ π x 2 L = ∂ T ∂ X

- k ∂ T ∂ X = q x ' '

q x ' ' = k C 1 π 2 L T i - T s e - π α t 4 L 2 sen ⁡ π x 2 L = ∂ T ∂ X

q x ' ' 0 = 0

q x ' ' L = k C 1 π 2 L T i - T s e - π α t 4 L 2

Passo 4

(c) Seguindo as equações da letra (a) e (b) vamos montar nosso gráfico q x ' ' - t , T - x assim temos.

Passo 5

(d) Para encontrarmos o efeito de α para uma mudança térmica temos que fazer uma relação com nossas temperaturas, assim temos:

T x - T S A T x - T S B = e - π 4 L 2 α A - α B t

Se α A > α B , a temperatura tende para α A tende a chegar mais rápido em T S a mesma coisa para B .

E é isso!

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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