Enunciado

Uma parede de tijolos ( k   =   0,72   W / m . K   e   α   =   1,6 x 10 - 6 m ² / s ) de 40 c m de espessura é aquecida até uma temperatura média de 18 °C pelo sistema de aquecimento e por radiação solar incidente sobre ela durante o dia. Durante a noite, a superfície externa da parede está exposta ao ar frio a -3 ° C , com coeficiente médio de transferência de calor de 20   W / m ² . K . Determine as temperaturas da parede para distâncias de 15, 30 e 40 cm da superfície externa após o período de 2 horas.

Passo 1

Vou analisar o enunciado junto com você pra gente entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, vamos pensar no que tá acontecendo.

Num primeiro momento, uma parede de tijolos é mantida a 18 °C durante todo o dia, ou seja, mais ou menos 12 horas de sol quente incidindo sobre a parede e mantendo ela a essa temperatura.

Num segundo momento, a noite chega e traz com ela um ar frio a -3 ° C , mudando a condição de contorno na superfície da parede e fazendo ela perder calor e se resfriar.

O problema então nos pede pra analisar as temperaturas a três diferentes distâncias dessa superfície num período de 2 horas depois que a nova condição de contorno foi estabelecida.

Você consegue perceber que 2 horas é um período de tempo muito curto pra mudar uma condição de equilíbrio térmico que estava estabelecida por 12 horas seguidas? Então, essa é exatamente a definição de um sólido semi-infinito: analisar a transferência de calor “penetrando” num corpo em um curto período de tempo no qual a condição de contorno na sua superfície não interfere na outra extremidade.

Além disso, você consegue perceber que o ar frio que chega na superfície da parede é uma condição de contorno convectiva por se tratar da transferência de calor da parede sólida com um fluido?

Então, como estamos analisando um sólido semi-infinito submetido a uma condição de contorno convectiva, vamos utilizar essa equação aqui:

T x , t -   T i T ∞ -   T i = e r f c x 2 α t - e x p h x k + h ² α t k ² ∙ e r f c x 2 α t + h α t k

Agora eu quero terminar esse primeiro passo organizando as variáveis que vamos utilizar nesse problema pra você não se confundir:

T i = 18   ° C T ∞ = - 3   ° C h =   20   W / m ² . K k   =   0,72   W / m . K α   =   1,6 x 10 - 6 m ² / s

Passo 2

Agora, vamos calcular a temperatura a 15 c m da superfície da parede.

Se você chegou até aqui esse passo é bem fácil, basta substituir as variáveis na equação que eu te mostrei no Passo 1, com x   =   0,15   m e t   =   2   h   =   7200   s .

Vamos dividir a equação em três partes pra facilitar nosso cálculo.

Calculando o primeiro termo da equação:

e r f c x 2 α t =   e r f c 0,15   m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) ≅   e r f c 0,7    

Indo na Tabela 4-4 (página 251), podemos encontrar o valor da função erro complementar. Assim, pela tabela:

e r f c 0,7   = 0,3222

Calculando agora o segundo termo da equação:

e x p ( 20   W / m ² . K ) ( 0,15   m ) 0,72   W / m . K + ( 20   W / m ² . K ) ² (   1,6 x 10 - 6 m ² / s ) ( 7200   s ) ( 0,72   W / m . K ) ² = e x p 4,61

e x p 13,1 =   4,88 x 10 5

E o terceiro termo da equação:

e r f c 0,15   m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) +   ( 20   W / m ² . K ) ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) 0,72   W / m . K    

= e r f c 3,68

Indo novamente na Tabela 4-4:

e r f c 3,68 =   0 , pois a função já é 0 para 3,60.

Substituindo na equação:

T 15   c m , 2   h - 18 ° C - 3 ° C -   18   ° C = 0,3222 - 4,88 x 10 5 0 → T 15   c m , 2 h - 18 ° C - 21   ° C = 0,3222  

T 15   c m , 2 h =     11,23   ° C

Passo 3

De forma análoga ao Passo 2, vamos resolver o problema para x   =   0,3   m .

Novamente, separando a equação em termos:

Calculando o primeiro termo da equação:

e r f c x 2 α t =   e r f c 0,3   m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) ≅   e r f c 1,4    

Indo na Tabela 4-4 (página 251), podemos encontrar o valor da função erro complementar. Assim, pela tabela:

e r f c 1,4   = 0,04772

Vamos analisar o terceiro termo da equação:

e r f c 0,3   m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) +   ( 20   W / m ² . K ) ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) 0,72   W / m . K    

= e r f c 4,38

Indo novamente na Tabela 4-4:

e r f c 4,38 =   0 , pois a função já é 0 para 3,60.

Assim, não há necessidade de se calcular o segundo termo da equação.

Substituindo na equação:

T 30   c m , 2   h - 18 ° C - 3 ° C -   18   ° C = 0,04772 - 0 → T 30   c m , 2 h - 18 ° C - 21   ° C = 0,04772  

T 30   c m , 2 h =     17   ° C

Passo 4

Por fim, vamos resolver o problema para x   =   0,4   m .

Novamente, separando a equação em termos:

Calculando o primeiro termo da equação:

e r f c x 2 α t =   e r f c 0,4   m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) ≅   e r f c 1,86    

Indo na Tabela 4-4 (página 251), podemos encontrar o valor da função erro complementar. Assim, pela tabela:

e r f c 1,86   = 0,00853

Vamos analisar o terceiro termo da equação:

e r f c 0,4 m 2 ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) +   ( 20   W / m ² . K ) ( 1,6 x 10 - 6 m ² / s ) (   7200   s ) 0,72   W / m . K    

= e r f c 4,84

Indo novamente na Tabela 4-4:

e r f c 4,84 =   0 , pois a função já é 0 para 3,60.

Assim, não há necessidade de se calcular o segundo termo da equação.

Substituindo na equação:

T 40   c m , 2   h - 18 ° C - 3 ° C -   18   ° C = 0,00853 - 0 → T 40   c m , 2 h - 18 ° C - 21   ° C = 0,00853  

T 40   c m , 2 h =     17,8   ° C   ≅ 18   ° C

Esse último resultado valida a hipótese que assumimos de que o corpo era um sólido semi-infinito, pois na extremidade da parede ele não sente influência da condição de contorno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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