Enunciado

A salsicha pode ser considerada um cilindro de 12 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro e propriedades ρ = 980 kg/m³, c P = 3,9   k J k g . K , k   =   0,76   W / m . K   e   α   =   2 x 10 - 7 m ² / s ). Uma salsicha inicialmente a 5 °C é colocada na água fervente a 100 °C. O coeficiente de transferência de calor na superfície da salsicha é estimado em 600 W/m².K. Considerando que a salsicha é considerada cozida quando a temperatura do se centro atinge 80 °C, determine o tempo necessário para cozinha-la na água fervente.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, pelas dimensões tão próximas entre o diâmetro e o comprimento do cilindro, este problema trata de um cilindro curto. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x quanto na direção r para desse cilindro, pois suas dimensões são muito próximas.

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (água fervente) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:

ϴ c i l i n d r o c u r t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ p a r e d e p l a n a  

Ou seja:

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 5   ° C   e   T ∞ = 100   ° C ρ   = 980   k g / m ³ c P = 3,9   k J k g . K , k   = 0,76   W / m . K α   = 2 x 10 - 7 m ² / s h =   600   W / m ² . K

Passo 2

Para resolver o problema, vamos supor que todos os valores de Números de Fourier (τ) são maiores que 0,2, para aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura no centro da salsicha ( r   =   0 e x = 0 ) para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( 0 , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡

ϴ p a r e d e p l a n a ( 0 ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:

L = ( 12   c m ) / 2   = 6   c m   = 0,06   m R = ( 2   c m ) / 2   = 1   c m   = 0,01   m

Vamos deixar os valores do Número de Fourier em função do tempo:

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R ² =   ( 2 x 10 - 7 m ² / s   ) t ( 0,01     m ) ² = 2 x 10 - 3 t

τ p a r e d e p l a n a =   α t L ² =   ( 2 x 10 - 7 m ² / s   ) t ( 0,06     m ) ² = 5,55 x 10 - 5 t

Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 600   W / m ² . K ) ( 0,01   m ) 0,76   W / m . K = 7,894   ≅ 8,0  

B i p a r e d e p l a n a =   h L k =   ( 600     W / m ² . K ) ( 0,06   m ) 0,76   W / m . K = 47,36   ≅ 50  

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para ambas as geometrias para encontrar A 1 e λ 1   para as duas.

Para o cilindro infinito:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 8,0   →   λ 1 = 2,1286     A 1 = 1,5526

Para a parede plana, vamos aproximar o valor para B i p a r e d e p l a n a = 0,06 , que é tabelado:

B i p a r e d e p l a n a = 50     →   λ 1 = 1,5400   A 1 = 1,2727

Passo 3

Vamos agora calcular o tempo para que a temperatura no centro da salsicha atinja 80 ° C em eu centro, a partir das equações que eu te mostrei no passo anterior.

Primeiro, vamos resolver para o cilindro infinito:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0 , t = 1,5526 e - 2,1286   2 2 x 10 - 3 t = ( 1,5526 ) e - 9,06 x 10 - 3 t

Agora, vamos resolver para a parede plana:

ϴ p a r e d e p l a n a 0 , t = ( 1,2727 ) e - 1,5400   2 5,55 x 10 - 5 t = ( 1,2727 ) e - 1,32 x 10 - 4 t

Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:

ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , t = ( 1,9760 ) e - 9,19 x 10 - 3 t

Devemos lembrar, ainda, que

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o   → T 0,0 , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o c u r t o =   ϴ c i l i n d r o c u r t o 0,0 , t

Sendo assim:

80   ° C - 100   ° C 5   ° C - 100   ° C c i l i n d r o c u r t o =   ( 1,9760 ) e - 9,19 x 10 - 3 t

Sendo assim:

( 1,9760 ) e - 9,19 x 10 - 3 t = 0,2105   → e - 1,19 x 10 - 3 t = 0,1065

Para encontrar o valor de t, devemos aplicar l n de ambos os lados:

l n e - 9,19 x 10 - 3 t = l n ⁡ 0,1065 → - 9,19 x 10 - 3 t = - 2,2396 → t = 243,7   s = 4,1   m i n

Além disso,

τ c i l i n d r o i n f i n i t o = 2 x 10 - 3 243,7 = 0,49 > 0,2

Logo a hipótese que assumimos no começo estava correta.

Resposta

Como mostrando nos passos anteriores, o tempo para que a salsicha esteja cozida é de t = 243,7   s = 4,1   m i n .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A temperatura do solo nas camadas superiores varia em condições atmosféricas. Antes de uma frente fria chegar, ao solo no local está a uma temperatura uniforme de 15° C . Em seguida, a área é submetid
Um bloco espesso de alumínio inicialmente a 20° C é submetido a um fluxo de calor constante de 4000W / m 2 por meio de um aquecedor de resistência elétrica cuja superfície superior é isolada. Determin
Uma pessoa descalça cujos pés estão a 32° C pisa em um bloco de alumínio a 20° C . Considerando tanto os pés quanto o bloco de alumínio como sólidos semi-infinitos, determine a temperatura da superfíc
Em áreas onde a temperatura do ar permanece abaixo de 0° C por longos períodos de tempo, o congelamento da água nas canalizações subterrâneas é uma grande preocupação. Felizmente, o solo permanece rel
O asfalto de uma estrada está inicialmente na temperatura uniforme de 55° C . De repente, a temperatura da superfície da estrada é reduzida 25° C devido à chuva. Determine a temperatura na profundidad