Enunciado

22 – A partir do balanço de energia um elemento de volume de casca esférica, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma esfera com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

Considerações:

1) Unidimensional

2) Transitório

3) Condutividade térmica constante

4) Sem geração de calor

Passo 2

Considere o elemento de casca esférica fina de espessura  r  na esfera.

Escreva o balanço de energia para este elemento. Como a condutividade térmica é constante, existe um fluxo de calor somente na direção radial. Além disso, a geração interna de calor é zero.

De acordo com a conservação de energia, o calor conduzido para um elemento será igual ao calor realizado, mais a mudança na energia interna do elemento.

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r = ∆ E e l e m e n t o ∆ t   … … … ( 1 )

Aqui, Q ˙ é a transferência de calor, ∆ E e l e m e n t o é a energia interna.

Considere a seguinte expressão:

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

= ρ × V c p T t + ∆ t - T t

= ρ × A ∆ r c p T t + ∆ t - T t

Aqui, ρ é a densidade, c p é o calor específico do material, V é o volume.

Passo 3

Vamos agora, substituir os valores conhecidos no balanço energético,

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r = ρ c p A ∆ r T t + ∆ t - T t ∆ t

Dividindo os dois lados por A ∆ r temos:

- 1 A   Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r ∆ r = ρ c p ∆ T ∆ t … … … . .   ( 1 )

Pegue os limites como ∆ r → 0 e ∆ t → 0 .

- 1 A lim ∆ r → 0 ⁡ Q ˙ r - Q ˙ r + ∆ r ∆ r = ρ c p lim ∆ r → 0 ⁡ ∆ T ∆ t

- 1 A ∂ Q ˙ ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t … … . .   ( 2 )

Passo 4

Escreva a expressão para a transferência de calor na esfera na direção radial.

Q = - k A ∂ T ∂ r ˙

Aqui, a condutividade térmica é k .

Substitua k A ∂ T ∂ r na equação (2).

- 1 A ∂ ∂ r - k A ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

Substituindo A = 4 π r 2

1 4 π r 2 ∂ ∂ r k 4 π r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

1 r 2 ∂ ∂ r k r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p ∂ T ∂ t

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = ρ c p k ∂ T ∂ t

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Aqui a propriedade ∝ = k ρ c p é a difusividade térmica do material.

Portanto, a equação para uma esfera com condutividade térmica constante e sem geração de calor é 

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Resposta

Portanto, a equação para uma esfera com condutividade térmica constante e sem geração de calor é  1 r 2 ∂ ∂ r r 2 ∂ T ∂ r = 1 ∝ ∂ T ∂ t

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