Enunciado

20 – A partir do balanço de energia em um elemento de volume retangular, derive a equação de condução de calor unidimensional transiente para uma parede plana como condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

Para ajudar na visualização do problema:

Passo 2

Premissas:

1) Unidimensional

2) Transitório

3) Condutividade térmica constante

4) Sem geração de calor

Vamos considerar um elemento fino de espessura  x  em uma grande parede plana

A densidade da parede é ρ ,

O calor específico é  c p , e

A área da parede perpendicular à direcção de transferência de calor é  A .

Na ausência de geração de calor, um balanço de energia nesse elemento fino de espessura  x  durante um pequeno intervalo de tempo  t   pode ser expresso como

Q x ˙ - Q x + ∆ x ˙ = ∆ E e l e m e n t o ∆ t                   ( 1 )

Onde:

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

= ρ c p A ∆ x T t + ∆ t - T t

Passo 3

Substituindo a relação (1), temos:

Q x ˙ - Q x + ∆ x ˙ = ρ c p A ∆ x T t + ∆ t - T t ∆ t

- 1 A   Q x + ∆ x - Q x ˙ ˙ ∆ x   = ρ c p T t + ∆ t - T t ∆ t

Ao consideramos o limite de ∆ x → 0 e ∆ t → 0

1 A ∂ ∂ x k A ∂ T ∂ x = ρ c p ∂ T ∂ t

Passo 4

A partir da definição da derivada e da lei de Fourier de condução de calor,

lim ∆ x → 0 ⁡ Q ˙ x + ∆ x - Q x ˙ ˙ ∆ x = ∂ Q ∂ x = ∂ ∂ x - k A ∂ T ∂ x

Observando que a área A de uma parede plana é constante, a equação de condução transiente unidimensional de calor em uma parede plana com condutividade térmica constante k se torna

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Onde a propriedade ∝ = k ρ c p é a difusividade térmica do material.

Portanto, a equação unidimensional de condução de calor para a parede plana é

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Resposta

∂ 2 T ∂ x 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

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