Enunciado

Para uma pequena partícula de isopor (16 kg/m3) (esférica, com diâmetro d = 0,3 mm) caindo em ar padrão a uma velocidade V, a força de arrasto é dada por F D   =   3 π μ V d , em que μ é a viscosidade do ar. Partindo do repouso, determine a velocidade máxima e o tempo que a partícula leva para atingir 95% dessa velocidade. Trace um gráfico da velocidade em função do tempo.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Sabemos que a densidade da esfera é:

ρ e s f e r a = S G × ρ w

Como a densidade é massa sobre volume, tempos que a massa da esfera será:

M = ρ e s f e r a × π d 3 6 = 2,26 × 10 - 10 k g

Pela segunda lei de Newton, para o estado em repouso, obtemos:

M g = 3 π V d

Logo, a velocidade máxima será (ignorando os efeitos da flutuação):

V m á x = m g 3 π d μ = 0,0435 m / s

Novamente, pela segunda lei de Newton, mas agora para um estado geral, teremos:

M d v d t = M g - 3 π V d μ  

d V g - 3 π μ d V M = d t

Resolvendo a EDO (não é nosso foco aqui a resolução de EDO), teremos:

V t = M g 3 π μ d 1 - e - 3 π μ d M   t

Traçando o gráfico:

Substituindo a velocidade por 95% da máxima e substituindo os dados, teremos:

t = 0,0133 s

Resposta

t = 0,0133 s

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