Enunciado

Em um experimento para controle de poluição, diminutas partículas sólidas (massa típica   5   ×   10 - 11 kg) são abandonadas no ar. A velocidade terminal das partículas de 5 cm é medida. O arrasto sobre as partículas é dado por F D   =   k V , em que V é a velocidade instantânea da partícula. Encontre o valor da constante k. Encontre o tempo necessário para se atingir 99% da velocidade terminal.

Passo 1

Vamos lá!! A gente quer achar o valor da constante k e também o tempo que leva para a partícula atingir 99 % da velocidade terminal!

Para entendermos melhor o que esta acontecendo, vamos desenhar um esqueminha!

A força de arrasto, F D e a força da gravidade F g agem na partícula.

A velocidade da partícula ( V ) é igual a velocidade terminal ( V t ) quando F D = F g

Pela segunda lei de Newton:

F g = M × g

Passo 2

O problema diz pra a gente que:

F D = k V

Quando V = V t , F g = F D :

M × g = k × V t

Isolando k :

k = M g V t

Mas aqui a gente engasga em um problema! Não temos a V t !!!

Depois de muito analizar, muito quebrar a cabeça fomos consultar a versão original do livro e descobrimos que nele a velocidade terminal é dada, e é V t = 5 c m / s porem o diâmetro da partícula não é dado, então acreditamos que tenha ocorrido algum erro de digitação!

Daqui pra frente vamos considerar V t = 5 c m / s , combinado?!

Só precisamos converter para m / s :

V t = 5 c m s × 1   m 10 2 c m = 5 × 10 - 2 m s

Isolando k e adotando g = 9,81   m / s 2 :

k = 5 × 10 - 11 × 9,81   5 × 10 - 2 = 9,81 × 10 - 9 N × s m  

k = 9,81 × 10 - 9 N × s m

Passo 3

Para achar o tempo que a partícula leva pra ter V = 0,99 V t vamos ter que considerar uma situação onde F D não é igual a F g , nesse caso teremos uma força resultante diferente de zero!

F = F g - F D

Não conhecemos F , mas considerando a segunda lei de newton podemos fazer:

M × a = ( M × g ) - ( k V )

Não conhecemos a aceleração resultante a , mas aqui vem um pulo do gato, presta só atenção!!

a = d V d t

Ahráaa! Agora ficamos com:

M × d V d t = ( M × g ) - ( k V )

Podemos arrumar assim:

d V d t = g - k V M

Se a gente colocar tudo que tem V pro mesmo lado, a gente pode integrar, certo?

d t = d V g - k V M

Integrando:

∫ 0 t d t = ∫ 0 V 1 g - k V M   d V

Calculando a integral, do lado esquerdo é fácil

∫ 0 t d t = t

Agora para o lado direito iremos fazer por substituição, nossa integral é

∫ 0 V 1 g - k V M   d V

Usaremos a seguinte substituição:

u = g - k V M

d u = - k M d V ∴ d V = - M k d u

Substituindo:

∫ - M k . 1 u . d u = - M k ln ⁡ u

Agora desfazendo nossa substituição e aplicando os limites da integral

∫ 0 V 1 g - k V M   d V = - M k ln ⁡ g - k V M | V 0

=   - M k ln ⁡ g - k V M - ln ⁡ g - 0

= - M k  ln ⁡ g - k V M - ln ⁡ g

Multiplicando o menos para dentro da nossa expressão:

= M k ln ⁡ g - ln ⁡ g - k V M

E lembrando que subtração de logaritmos é o logaritmo da divisão:

= M k ln ⁡ g g - k V M

Agora, é só substituir esses valores na nossa expressão e teremos:

∫ 0 t d t = ∫ 0 V 1 g - k V M   d V

t = M k ln ⁡ g g - k V M

Encontramos uma expressão para o nosso tempo.

Sabendo que:

V = 0,99 V t e r m i n a l

V = 0,99 × 5 × 10 - 2 = 4,95 × 10 - 2 m / s

Substituindo tudo que temos:

t = 5   ×   10 - 11 9,81 × 10 - 9 ln ⁡ 9,81 9,81 - 9,81 × 10 - 9 × 4,95 × 10 - 2 5 × 10 - 11 = 0,0235   s

Uhuuuul!!!

Resposta

t = 0,0235   s

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