Enunciado

Pequenas esferas de vidro deixam o forno e são resfriadas a uma temperatura ambiente de 30 °C. Uma dessas esferas tem diâmetro de 10 mm e temperatura inicial de 400 °C é resfriada por 3 minutos. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 28 W/m².K, determine a temperatura do centro da esfera de vidro usando (a) Tab. 4-2 e (b) gráfico de Heisler (Fig. 4-18). A esfera de vidro tem propriedades de ρ = 2800 kg/m³, c P = 750   J k g . K e k = 0,7 W/m.K.

Passo 1

Nesse problema, devemos comparar o cálculo da temperatura do centro de uma esfera de vidro que é resfriada por dois métodos distintos: primeiramente, pela resolução analítica do perfil de temperaturas adimensional da esfera e depois pelo gráfico de Heisler.

Antes de tudo, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 40 0   ° C   e     T ∞ = 3 0   ° C ρ   =   2800   k g / m ³ c P = 750   J / k g . K k   =   0 , 7   W / m . K α   = k ρ c P = 3,33 x 10 - 7   m ² / s h =   28   W / m ² . K

Passo 2

Para resolver a letra (a), devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para o problema.

Para uma esfera, a dimensão característica é o raio R da esfera:

R = 10   m m   2 = 5 m m   = 0,005   m

Primeiro, vamos calcular o Número de Fourier (τ). Vamos lembrar que, segundo o enunciado o processo ocorre em 3 m i n , ou seja, 180 s . Sendo assim:

τ =   α t R ² =   ( 3,33 x 10 - 7   m ² / s ) ( 18 0 s ) ( 0,005   m ) ² = 2,40

Note que o valor de τ foi maior que 0,2. Isso garante que nosso problema está sendo analisando em tempos muito longos, e podemos aproximar o perfil adimensional no centro da esfera ( r = 0 )   para:

ϴ ( 0 , t ) = T 0 , t - T ∞ T i - T ∞   = A 1 e - λ 1 ² τ ⁡

Agora, vamos calcular o número de Biot:

B i =   h R k =   ( 28   W / m ² . K ) ( 0,005   m ) 0,7   W / m . K = 0,2

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar o valore de B i para encontrar A 1 e λ 1   para uma esfera:

B i = 0,2 →   λ 1 = 0,7593     A 1 = 1,0592

Agora, simplesmente basta substituir os valores na equação que foi mostrada um pouco acima:

ϴ 0 ,   3 m i n = 1,0592 e - 0,7593 2 2,40 = 0,2655 ⁡

Agora, para calcular a temperatura no centro, basta fazer:

T 0 , 3   m i n - 30   ° C 400 - 30   ° C = 0,2655 ⁡ → T 0,3   m i n = 128,24   ° C  

Passo 3

Para resolver a letra (b), basta ir até a Figura 4-18a, no gráfico de Heisler correspondente à temperatura no centro de uma esfera. Para ler esse diagrama, basta entrar com o valor de τ no eixo x   e cruzar com a curva correspondente ao valor de 1 / B i , lendo a temperatura adimensional no centro no eixo   y .

Sendo assim:

τ = 2,40 1 B i = 5 , 0   →   ϴ 0 ≅ 0,26

Agora, para calcular a temperatura no centro, basta fazer:

T 0,3   m i n - 30   ° C 400 - 30   ° C = 0,26 ⁡ → T 0,3   m i n = 126,20   ° C  

Resposta

Como demonstrado nos passos anteriores, a temperatura no centro da esfera para o método da resolução analítica e para o gráfico de Heisler são, respectivamente, 128,24   ° C e 126,20   ° C , mostrando que os dois métodos obtêm resultados muito próximos.

Além disso, as quantidades de calor removidas para as situações onde toda a água é congelada e apenas 90% dela é congelada são, respectivamente, 1752,83   k J e 1617,18 k J .

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