Enunciado

Duas esferas, A e B , inicialmente a 800   K , são subitamente submersas em grandes banhos, que são mantidos à mesma temperatura constante de 320   K . Os parâmetros a seguir estão associados a cada uma das esferas e aos seus respectivos processos de resfriamento.

(a) Mostre de maneira qualitativa, em coordenadas T   –   t , as temperaturas no centro e na superfície de cada esfera em função do tempo. Explique sucintamente o raciocínio utilizado na determinação do posicionamento relativo das duas curvas.

(b) Calcule o tempo necessário para a superfície de cada esfera atingir 415   K .

(c) Determine a energia ganha por cada um dos banhos durante o processo de resfriamento das esferas até a temperatura superficial de 415   K .

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema nos pede o tempo necessário para a remoção de para atingir a temperatura de 415   K a energia cedida e os gráficos T - t , mas antes que tal desenharmos um esboço do comportamento desse problema pra entendermos o que o ocorre. Fica assim.

Agora vamos as nossas famosas considerações pra resolver nosso problema.

I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I I - T r a n s f e r e n c i a   d e   c a l o r   s o m e n t e   n o   s e n t i d o   r a d i a l

I I I - C o e f i c i e n t e   d e   c o n v e c ç ã o   c o n s t a n t e

Passo 2

(a)

Para avaliarmos qualitativamente o gráfico da temperatura v e r s u s tempo, precisamos do número de B i o t e a constante de tempo térmica, provenientes das equações 5.10 e 5.7 , para L C = r 0 3 o número de B i o t fica:

B i = h r 0 3 k

B i A = 5 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,15   m 3 ⋅ 170 W m ⋅ K = 1,47 ⋅ 10 - 3

B i B = 50 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,015   m 3 ⋅ 1,7 W m ⋅ K = 0,147

Disso temos que para a esfera A podemos usar a consideração da capacitância global o que nos indica que ela é espacialmente isotérmica, já pra esfera B teremos que fazer uma análise especifica para cada seção da esfera segundo as equações 5.55 e 5.53 , como vamos fazer isso na letra (b) e (c), somente ilustraremos o gráfico de acordo com a constante de tempo térmica.

Agora usando a constante de tempo térmica para ambas as situações temos:

τ t = ρ V c A S h = ρ r 0 c 3 h

τ t A = 1600 k g m 3 ⋅ 0,150   m ⋅ 400 J k g ⋅ K 3 ⋅ 5 W m 2 ⋅ K = 6400   s

τ t B = 400 k g m 3 ⋅ 0,0150   m ⋅ 1600 J k g ⋅ K 3 ⋅ 50 W m 2 ⋅ K = 64   s

Como τ t B ≪ τ t A , isso nos indica que a esfera B ira perder calor de forma mais intensa, assim nosso gráfico fica:

Passo 3

(b)

Como a esfera A é isotérmica espacialmente usando a equação 5.6 e 5.7 :

T - T ∞ T i - T ∞ = e - t τ t

Aplicando o l n temos:

t A = - τ t [ A ] ln ⁡ T - T ∞ T i - T ∞

t A = - 6400 s ln ⁡ 415 - 320 800 - 320 = 10.367   s

t A = 2   h o r a s   52   m i n u t o s   e   47   s e g u n d o s

Como havíamos discutido antes como B i B > 0.1 temos que tratar cada caso com particularidade, assim temos:

B i B = h r 0 k = 50 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,015   m 1,7 W m ⋅ K = 0,441

Da tabela 5.1 temos ζ 1 = 1,0992 e C 1 = 1,1278 assim lembrando que da equação 5.53 , temos:

θ 0 * = C 1 e - ζ 1 2 F 0

Como   θ 0 * representa a variação térmica adimensional temos:

θ 0 * = T - T ∞ T i - T ∞ = 415 K - 320 K 800 K - 320 K

θ 0 * = 0,1979

Substituindo na equação 5.53 temos:

0,1979 = 1,1278 ⋅ e 1,0992 2 ⋅ F 0

F 0 = 1,266

Por fim temos que t B = F 0 r 0 2 α ,   α = k ρ c p assim:

t B = F 0 r 0 2 α = F 0 r 0 2 ρ c p k = 1,266 ⋅ 0,015 2 ⋅ 400 k g m 3 ⋅ 1600 J k g ⋅ K 1,7   W m ⋅ K  

t B = 107   s

t B = 1   m i n u t o   e   47   s e g u n d o s

Passo 4

(c)

Para a esfera A o balanço de energia é dado por:

E e n t r a - E s a i = Δ E ,   - Q A = E t - E 0

Q A = ρ V c p T i - T ∞ = 1600 k g m 3 ⋅ 4 3 π 0,15   m 3 ⋅ 400 J k g ⋅ K 800 K - 320 K

Q A = 3,483   M J

Como havíamos discutido antes como B i B > 0.1 temos que tratar cada caso com particularidade, assim temos:

B i B = h r 0 k = 50 W m 2 ⋅ K ⋅ 0,015   m 1,7 W m ⋅ K = 0,441

Da tabela 5.1 temos ζ 1 = 1,0992 e C 1 = 1,1278 assim temos:

Lembrando que da equação 5.53 , temos:

θ 0 * = C 1 e - ζ 1 2 F 0

Sendo F 0 = α t 0 r 0 2 , substituindo isso na equação 5.55 temos:

Q B Q 0 = 1 - 3 C 1 e - ζ 1 2 α t 0 r 0 2 ζ 1 3 sen ⁡ ( ζ 1 ) - ζ 1 cos ⁡ ζ 1

Q B Q 0 = 1 - 3 ⋅ 0,2442 1,0992 3 sen ⁡ 1,0992 - 1,0992 cos ⁡ 1,0992

Q B Q 0 = 0,784

Q B = 0,784 Q 0

Q b = 0,784 ρ V c p T i - T ∞

Q b = 0,784 ⋅ 400 k g m 3 ⋅ 4 3 π 0 , 0 15   m 3 ⋅ 1600 J k g ⋅ K 800 K - 320 K

Q b = 3,405   k J

Ufa, finalmente terminamos!

Normalmente é bom tomar cuidado com esse tipo de questão porque alguns professores gostam de colocar em prova, mas é só tentar manter tudo organizado para não errarmos com bobagens ao longo da questão!

Resposta

(b) t A = 2   h o r a s   52   m i n u t o s   e   47   s e g u n d o s

t B = 1   m i n u t o   e   47   s e g u n d o s

(c) Q A = 3,483   M J

Q b = 3,405   k J

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