Enunciado

O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de óleo castor a 20 °C entre placas paralelas em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere U = 1,5   m / s e a = 5   m m . Determine o gradiente de pressão para o qual não há vazão resultante na direção x . Trace um gráfico das distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento em uma seção do canal para este escoamento. Para o caso em que u = U e y / a = 0,5 , trace as distribuições esperadas de velocidade e de tensão de cisalhamento no canal. Comente sobre as características dos gráficos.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é escrever a equação para o perfil de velocidade nesse caso, que será dado pela equação 8.8 vista nessa seção do livro, então, teremos:

u y = U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a

Então, sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = μ d u d y

Então, precisamos derivar a expressão para a velocidade com relação à y , dessa forma, temos:

d u d y = U a + a 2 2 μ d p d x 2 y a 2 - 1 a

Então, a tensão de cisalhamento será:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Passo 2

Agora, para encontrar a vazão por unidade de profundidade na seção, vamos utilizar a definição de vazão, dada por:

Q = ∫ V A = ∫ 0 a u w d y

Então, colocando no formato pedido no enunciado, para uma dada seção transversal, teremos:

Q w = ∫ 0 a u d y

Agora, substituindo a expressão para a velocidade, temos:

Q w = ∫ 0 a U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a d y

Então, resolvendo essa integral, chegamos em:

Q w = U y 2 2 a + a 2 2 μ d p d x y 3 3 a 2 - y 2 2 a 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

Q w = U a 2 2 a + a 2 2 μ d p d x a 3 3 a 2 - a 2 2 a - 0

Q w = U a 2 + a 2 2 μ d p d x a 3 - a 2 = U a 2 + a 2 2 μ d p d x 2 a - 3 a 6

Q w = U a 2 - a 3 12 μ d p d x

Então, onde não temos vazão resultante, teremos então Q / w = 0 , dessa forma:

0 = U a 2 - a 3 12 μ d p d x → d p d x = 6 μ U a 2

Então, agora, precisamos ir no apêndice A pegar o valor da viscosidade do óleo dado, então, para óleo castor a 20 °C, temos:

μ = 1   N . s / m 2

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para o gradiente de pressão, temos:

d p d x = 6 1 1,5 0,005 2 → d p d x = 360 000   P a / m

Passo 3

Agora, vamos plotar o gráfico da distribuição de velocidade em função de y , então, com o auxílio da equação de velocidade do passo 1, descrita a seguir, temos:

u y = U y b + b 2 2 μ d p d x y b 2 - y b

E, agora, para a tensão de cisalhamento, temos:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

E o gráfico dessa equação será:

Passo 4

Agora, para a condição de u = U em y / a = 0,5 , temos a velocidade como:

u y = U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a

U = U 0,5 + a 2 2 μ d p d x 0,5 2 - 0,5 → 0,5 U = - a 2 8 μ d p d x

Então o gradiente de pressão será:

0,5 1,5 = - 0,005 2 8 1 d p d x → d p d x = - 240000   P a / m

Então, com esse gradiente de pressão, o gráfico da velocidade se torna:

E, agora, para a tensão de cisalhamento, temos:

Resposta

d p d x = 360000   P a / m

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