Enunciado

Quando um peso de 22 N é colocado na extremidade de uma barra de madeira flutuante na Figura P2.119, a barra inclina a um ângulo theta com seu canto superior direito na superfície, como mostra a figura. Determine (a) o ângulo theta e (b) a densidade da madeira. (Dica: As forças verticais e os momentos em relação ao centroide da barra devem estar equilibrados.)

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.8 do livro, chamada “Empuxo; princípios de Arquimedes”.

Nesse problema, como mostra a figura que ilustra a questão, temos uma barra de madeira de 2,7   m de comprimento e de base 10   c m × 10   c m . Além disso, temos um peso de 22   N em uma de sua extremidades, fazendo com que a barra incline num ângulo θ .

O enunciado pede que a gente calcule o ângulo θ da barra e também a densidade d da madeira. Pra isso, vamos dar uma olhada nesse esquema de forças na figura abaixo:

Sendo: E o empuxo; W m o peso da madeira; e W = 22   N o peso colocado na extremidade da barra.

Com base nisso, nos próximos passos vou te mostrar como calcular essas forças e fazer um balanço de forças e de momentos para calcular o ângulo θ e a densidade d .

Vem comigo pra resolver a questão!

Passo 2

Pra começo de conversa, vamos o esquema lá em cima. Temos uma altura h da parte emersa da barra, que forma um triângulo. Utilizando relações trigonométricas, podemos defini-la h = 2,7 tg ⁡ θ .

Deixando isso claro, vamos calcular agora as forças.

A primeira delas é o empuxo E . O empuxo pode ser calculado a partir do produto do peso específico da água γ e do volume da barra submerso. Esse volume submerso vai ser, então, o volume total da barra menos o volume emerso, que é um triângulo:

E = γ V s u b = 9790   N / m ³ 0,10   m 2 2,7   m - 2,7 × h 2 × 0,10   m

E = 264   - 1322 h

A linha de ação dessas forças com relação ao peso W será de 1 , 3 5   m para o empuxo se considerar toda a barra e 1,8   m para a área emersa, que é um triângulo.

O peso da madeira pode ser calculada a partir da equação:

W m = d γ V t o t a l = d 9790   N / m ³ 0,10   m 2 2,7   m = 264 d

E a linha de ação até o peso W é 1 , 3 5   m .

E, por fim, a linha de ação da força peso W com relação a ela mesma é nula.

Passo 3

Agora, pra finalizar a questão, iremos calcular os valores de h , e com ele o valor de θ , e de d .

O balanço de forças, que deve ser nulo, é igual a:

264   - 1322 h -   264 d - 22 = 0

1322 h = 264 - 264 d - 22

Da mesma maneira, o balanço de momento que também deve ser nulo:

264 ( 1 , 3 5 )   - 1322 h ( 1,8 ) -   264 d ( 1 , 3 5 ) - 22 ( 0 ) = 0

2379,6 h = 356 - 356 d

Agora, podemos combinar as duas equações pra achar h e d :

h = 0,049   m

d = 0,67

Com h podemos achar θ :

tg ⁡ θ = h 2,7 = 0,049 2,7 = 0,018

θ = arc tg ⁡ 0,018 = 1,04 °

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) O ângulo no qual a barra se inclina é θ = 1,04 °

(b) A densidade da madeira da barra é d = 0,67

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