Enunciado

O peso de uma placa plana fina com tamanho de 50   c m × 50   c m é equilibrado por um contrapeso que tem uma massa de 2   k g , conforme mostrado na Figura P11-45. Agora é ligado um ventilador; o ar a 1   a t m e 25 ℃ escoa para baixo sobre ambas as superfícies da placa com uma velocidade de corrente livre de 10   m / s . Determine a massa do contrapeso que precisa ser acrescentada para equilibrar a placa nesse caso.

Passo 1

Fala pessoal, tudo bom com vocês?? Bora resolver essa questão comigo!!

Aqui, vamos começar fazendo as seguintes hipóteses:

1 O fluxo é constante e incompressível

2 O número crítico de Reynolds é R e c r = 5 × 10 5

3 O ar é um gás ideal

4 As superfícies da placa são lisas

Passo 2

Vamos também separar os dados fornecidos no problema. Assim, temos:

Velocidade livre do ar: V = 10   m / s

Largura da placa fina e plana: b = 50   c m = 0,5   m

Comprimento da placa plana fina: L = 50   c m = 0,5   m

Área da placa plana: A = b L = 0,5   m × 0,5   m = 0,25   m 2

Massa do contrapeso: m = 2   k g

Pressão ambiente: P = 1   a t m

Temperatura ambiente: T = 25 ℃

Vamos precisar também encontrar algumas propriedade na Tabela A-9 a 1   a t m e 25 ℃ .

Densidade do ar: ρ = 1,184   k g / m 3

Viscosidade cinemática do ar: ν = 1,56 2 × 10 - 5   m 2 / s

Passo 3

Nessa questão, queremos calcular a massa do contrapeso que precisa ser adicionada para equilibrar a placa. Para isso, podemos começar calculando o número de Reynolds para o processo de escoamento do ar sobre a placa plana usando a seguinte relação:

R e L = V L ν

Onde,  V  é a velocidade do ar, L  é o comprimento da placa plana fina e ν  é a viscosidade cinemática do fluido. Substituindo os termos da relação acima pelos dados coletados, temos:

R e L = 10   m / s 0,5   m 1,56 2 × 10 - 5   m 2 / s = 3,201 × 10 5

Passo 4

Nós supomos que o valor do número de Reynolds crítico é  5 × 10 5 . Como o valor obtido do número de Reynolds é menor, o escoamento é laminar. Então, podemos calcular o coeficiente de atrito usando a expressão abaixo:

C f = 1,328 R e L 0,5

Substituindo o número de Reynolds encontrado no passo anterior, temos:

C f = 1,328 3,201 × 10 5 0,5 = 0,00 2347

Passo 5

Aqui, como o arrasto de pressão é zero e, portanto, C D = C f para uma placa plana, a força de arrasto que atua na superfície da parede pode ser calculada usando a fórmula abaixo:

F D = 1 2 C f ρ A V 2

Onde,  ρ é a densidade do ar, A  é a área da placa plana através da qual o ar está fluindo e V  é a velocidade do escoamento. Aqui, como o ar está fluindo pelos dois lados da área da placa, deve ser tomado como: 

A T o t a l = 2 × A = 2 × 0,25   m 2 = 0,5   m 2

Substituindo os termos da equação acima pelos dados coletados e calculados, temos:

F D = 1 2 0,002347 1,184   k g / m 3 0,5   m 2 10   m / s 2

F D = 0,0695   N

Passo 6

Agora, temos que descobrir a massa do corpo, cujo peso é 0,0695   N . Temos que a força é igual à massa vezes a aceleração. Para que os dois lados voltem a ficar em equilíbrio, precisamos que a força peso seja igual à força de arrasto. Assim, podemos usar a relação abaixo para encontra a massa adicionada de contrapeso:

F P = F D

m g = F D

m = F D g

Onde  F D é a força de arrasto, g  é a aceleração gravitacional e m é a massa de contrapeso adicionada. Substituindo os termos da equação acima pelos dados encontrados, temos:

m = 0,0695   N 9,81   m / s 2

m = 0,00 71   k g

m = 7,1   g

Portanto, é necessário um contrapeso de 7,1   g  para equilibrar a placa.

Resposta

m = 7,1   g

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