Enunciado

Um pistão comprime gás em um cilindro movendo-se a uma velocidade constante V , como na Figura P 4.18 .

Admita que a massa específica do gás e a posição do pistão em t = 0 sejam ρ 0 e L 0 , respectivamente. Considere que a velocidade do gás varie linearmente de u = V na face do pistão até u = 0 em x = L . Se a massa específica do gás varia apenas com o tempo, encontre uma expressão para ρ ( t ) .

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

Nosso sistema é unidimensional, então lembrando que a equação da continuidade fica nesta forma:

∂ p ∂ t + ∂ ∂ x ρ u = ∂ p ∂ t + ρ ∂ u ∂ x

Onde:

u = V 1 - x L ,   L = L 0 - V t

Assim nossa equação da continuidade fica com essa forma:

∂ p ∂ t - ρ V L = 0

Separando as variáveis e integrando:

∫ ρ 0 ρ d p ρ = V ∫ 0 t d t L 0 - V t

ln ⁡ ρ ρ 0 = - ln ⁡ L 0 - V t L 0

Ou:

ln ⁡ ρ ρ 0 = ln ⁡ L 0 L 0 - V t

Aplicando a esponencial dos dois lados vamos ter a seguinte equação:

ρ ρ 0 = L 0 L 0 - V t

Pra finalizar:

ρ = ρ 0 L 0 L 0 - V t

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

ρ = ρ 0 L 0 L 0 - V t

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