Enunciado

As coordenadas polares esféricas ( r ,   θ ,   ϕ ) são definidas na Figura P 4.12 . As transformações cartesianas são

x = r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

y = r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = r cos ⁡ θ

A relação da continuidade cartesiana incompressível [ E q u a ç ã o   ( 4.12 a ) ] pode ser transformada na forma polar esférica

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ v θ sen ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0

Qual é a forma mais geral de v r quando o escoamento é puramente radial, isto é, v θ e v ϕ são nulas?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão, mas vamos ter uma conversinha!

Olha, poderiamos resolver esse problema por derivada, mas ficaria muito longa, além disso ficaria extremamente desgastante para estudarmos!

Esse problema só tem como desejo introduzir o conceito de coordenadas esféricas!

Depois de todo esse contexto, vamos lá!

Se:

v θ = v ϕ = 0

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ v θ sen ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0

1 r 2 δ δ r r 2 v r + 0 + 0 = 0

Então o primeiro termo tem que ser igual a zero:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r = 0

Assim:

∫ ∂ ∂ r r 2 v r d r = ∫ 0   d r

r 2 v r = C

v r = 1 r 2 ⋅ C

Considerando que C é uma constante baseada em θ e ϕ , temos:

v r = 1 r 2 ⋅ C θ ,   ϕ

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

v r = 1 r 2 ⋅ C θ ,   ϕ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um campo de velocidade bidimensional é dado por V = x 2 - y 2 + x i - ( 2 x y + y ) j em unidades arbitrárias. Em x ,y = ( 1 ,2 ) , calcule (a) as acelerações a x e a y , (b) o componente de velocidad
Um campo de velocidade idealizado é dado pela fórmula V = 4 t xî - 2 t 2 yj ^ + 4 x zk ^ î Esse campo de escoamento é permanente ou não permanente? Ele é bidimensional ou tridimensional? No ponto x ,y
Um modelo simples de escoamento para um bocal convergente bidimensional é a distribuição u = U 0 1 + x L v = - U 0 y L w = 0 (a) Faça um esboço de algumas linhas de corrente na região 0x / L1 e 0 y /
Quando uma válvula é aberta, o fluido escoa no duto divergente da Figura P4.8 de acordo com a aproximação V = i U 1 - x 2 L tanh ⁡ U t L Encontre (a) a aceleração do fluido em x ,t = ( L ,L / U ) e (b
O escoamento pelo bocal convergente da Figura P 4.2 pode ser aproximado por uma distribuição de velocidades unidimensional u ≈ V 0 1 + 2 x L ; v ≈ 0 ; w ≈ 0 (a) Encontre uma expressão geral para a ace