Enunciado

A placa da figura tem uma área de 4   m 2 e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por v = 20 y v m á x 1 - 5 y . A viscosidade dinâmica do fluido é 10 - 2 N ⋅ s / m 2 e a velocidade máxima do escoamento é 4   m / s . Pede-se:

  1. O gradiente de velocidades junto ao solo;
  2. A força necessária para manter a placa em equilíbrio.

Passo 1

Bora lá!! A primeira coisa que a questão pede é o gradiente de velocidade no solo!

O problema dá pra a gente a equação de velocidade:

v = 20 y v m á x 1 - 5 y

Se a gente quer o gradiente a gente quer....

Isso mesmo, a derivada!! Então é pra esse caminho que a gente vai!

Multiplicando os termos, fazendo uma distributiva, temos:

v = 20 y v m á x - 100 y 2 v m á x

Derivando em função de y :

d v d y = 20 v m á x - 200 y v m á x

O enunciado dá o valor da velocidade máxima

v m á x = 4   m / s  

E como queremos esse gradiente no solo, usaremos

y = 20   c m = 0,2   m

E portanto:

d v d y = 20 4 - 200 ( 0,2 ) ( 4 )

d v d y = - 80   s - 1

Passo 2

A gente quer agora saber quem é a força F que deixa a placa em equilibrio, ou seja, parada!!

Se ela esta parada então a força que o fluido faz na placa quando se movimenta deve ser igual a força contraria, F que é responsável por deixar ela em equilibrio!!!

Que é:

F = τ ⋅ A

A área é dada pelo enunciado, A = 4   m 2 , mas precisamos achar τ :

τ = μ d v d y

Para calcularmos a força em que mantém a placa em condição de equilíbrio, realizaremos o calculo do gradiente em y = 0 , pois a placa está no topo do fluido:

d v d y = 20 4 - 200 ( 0 ) ( 4 )

d v d y = 80   s - 1

Podemos então encontrar a tensão de cisalhamento relacionada a este gradiente e encontrar a força.

τ = 10 - 2 80 = 0,8   N / m 2

Agora podemos calcular a força:

F = 0,8 × 4 = 3,2   N

Resposta

a )   d v d y = - 80   s - 1

b ) F = 3,2   N  

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ar escoando verticalmente para baixo atinge uma larga placa plana horizontal. O campo de velocidade é dado por =( a x-a y) ( 2+c o sω t ) , em que a = 5s - 1 , ω = 2 π s - 1 , x e y (medidos em metros
Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade V → = A ( 1+B t ) î +C t y j ^,c o mA = 1m / s î , B = 1 s - 1 eC = 1s - 2 . As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partíc
O campo de escoamento para um escoamento atmosférico é dado por V → = - M y 2 π î + M x 2 π j ^ î em que M=1s - 1 e as coordenadas x e y são paralelas à latitude e longitude locais. Trace um gráfico c
Considere o escoamento descrito pelo campo de velocidade V → = B x ( 1+A t ) î +C y j ^ î , com A=0,5s - 1 e B = C=1s - 1 . As coordenadas são medidas em metros. Trace a trajetória da partícula que pa
Um campo de velocidade é dado por V → =a y t î - b x j ^ î , em que a = 1s - 2 eb = 4s - 1 . Determine a equação das linhas de corrente para qualquer tempo t . Trace algumas curvas para t = 0s ,t = 1s