Enunciado

Uma placa retangular bidimensional é submetida a condições de contorno de temperatura especificada em três lados e a condição de fluxo térmico uniforme para dentro da placa em sua superfície superior. Usando a abordagem geral da Seção 4.2, deduza uma expressão para a distribuição de temperaturas na placa.

Passo 1

Fala aí! Olha só, essa questão quer que a gente deduza a expressão da distribuição de temperaturas da placa… Vamos lá!

Tendo nossa condição de superfície superior sendo: θ = T - T ∞ , vamos ficar com:

∂ ² θ ∂ x ² + ∂ ² θ ∂ y ² = 0

E agora considerando nossas condições de contorno, temos:

θ ( 0 , y ) = 0 θ ( L , y ) = 0

θ ( x , 0 ) = 0 k ∂ θ ∂ y | y = W   = q s "

Essa solução já temos dada no livro, show né! Então vamos só escrever o resultado que é a equação 4.11 do livro:

θ = ∑ n = 1 ∞ C n   .   s e n   n . π . x L   .   s e n h n . π . y L

Passo 2

Vamos ficar com o seguinte então:

∂ θ ∂ y | y = W   = ∑ n = 1 ∞ C n   .   n . π L   .   s e n   n . π . x L   .   c o s h n . π . W L

q s " k = ∑ n = 1 ∞ C n   .   n . π L   .   c o s h n . π . W L .   s e n n . π . x L

Podemos chamar uma constante de:

A = C n   .   n . π L   .   c o s h n . π . W L

Para deixar nossa equação mais organizada, então vamos ter:

q s " k = ∑ n = 1 ∞ A .   s e n n . π . x L

Show de bola, estamos quase acabando… Agora vamos então verificar nossas funções:

f ( x ) = q s " k g ( x ) = s e n n . π . x L

Sendo assim, vamos ficar com:

A = q s " k   .   ∫ 0 L s e n n . π . x L . d x   ∫ 0 L s e n ²   n . π . x L . d x

A = q s " k   .   2 π   .   ( - 1 ) n + 1 + 1 n

Se esse é nosso A , então substituindo ele na equação de C n teremos:

q s " k   .   2 π   .   ( - 1 ) n + 1 + 1 n = C n   .   n . π L   .   c o s h n . π . W L

C n = 2   .   q s "   .   L k   .   ( - 1 ) n + 1 + 1 n ²   .   π ²   .   c o s h   ( n . π . W / L )

Prontinho! Conseguimos a nossa equação!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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