Enunciado

Seja o Problema 4.5, agora com a placa tendo seção transversal quadrada, W = L .

a) Deduza uma expressão para o fator de forma, S m á x , associado à temperatura m á x i m a na superfície superior, tal que q = S m á x k   ( T 2 , m á x   –   T 1 ) , na qual T 2 , m á x é a temperatura máxima ao longo de y = W .

b) Deduza uma expressão para o fator de forma, S m e d , associado à temperatura m é d i a na superfície superior, q = S m e d k (   T 2 ¯ –   T 1 ) , na qual T 2 é a temperatura média ao longo de y = W .

c) Determine os fatores de forma que podem ser usados para determinar as temperaturas máxima e média ao longo de y = W . Determine as temperaturas máxima e média para T 1 = 0 ° C , L = W = 10   m m , k = 20   W / ( m · K ) e q s ' ' = 1000   W / m 2 .

Passo 1

Começamos o problema esboçando o esquema bidimensional de condução de calor na placa retangular, obtemos:

Passo 2

Agora, explicitando as equações bidimensionais de condução de calor em estado estacionário para uma placa retangular:

∂ 2 θ ∂ x 2 + ∂ 2 θ ∂ y 2 = 0

Aqui, sendo θ a distribuição de temperatura.

Então, o gradiente de temperatura em relação à direção x  é  ∂ 2 θ ∂ x 2 e gradiente de temperatura em relação à direção  y  é  ∂ 2 θ ∂ y 2 .

Expressaremos a condição de limite para a placa retangular bidimensional.

Para a superfície limite esquerda:

θ 0 , y = 0

Para a superfície limite direita:

θ L , y = 0

Sendo L o comprimento da placa na direção x .

Para a superfície limite inferior:

θ x , 0 = 0

Para a superfície limite superior:

k ∂ θ ∂ y y = w = q s ' '

Sendo:

k   a   c o n d u t i v i d a d e   t é r m i c a ;

w   a   l a r g u r a   n a   d i r e ç ã o   y ;

q s ' '   o   f l u x o   d e   c a l o r   a t u a n t e   n a   s u p e r f í c i e   s u p e r i o r .

Desse modo, expressando a forma geral de distribuição de temperatura para uma placa retangular bidimensional nas direções x  e y , temos:

θ x , y = ∑ n = 1 ∞ C n   s e n n π x L   s e n h n π y L

Sendo aqui, C n a constante térmica associada.

Diferenciando a equação em relação a y , obtemos:

∂ θ ∂ y = ∑ n = 1 ∞ C n   n π L s e n n π x L   c o s h n π y L

Substituindo w  por  y :

∂ θ ∂ y y = w = ∑ n = 1 ∞ C n   n π L s e n n π x L   c o s h n π w L

Passo 3

Substituindo a equação obtida no Passo 2 na equação de fluxo térmico, temos:

q s ' ' = k ∑ n = 1 ∞ C n   n π L s e n n π x L   c o s h n π w L

q s ' ' k = ∑ n = 1 ∞ C n   n π L s e n n π x L   c o s h n π w L

Fazendo:

A n = C n   n π L   c o s h n π w L

Temos:

q s ' ' k = ∑ n = 1 ∞ A n s e n n π x L

Expressando a função  f ( x ) em termos de funções ortogonais infinitas:

f x = ∑ n = 1 ∞ A n g n ( x )

Sendo aqui, g n ( x ) a função ortogonal.

g n x = s e n n π x L

Assim:

q s ' ' k = f ( x )

Passo 4

Calculando o coeficiente  A n :

A n = ∫ a b f x g n ( x ) d x ∫ a b g n 2 ( x ) d x

Substituindo os termos:

A n = ∫ 0 L q s ' ' k s e n n π x L d x ∫ 0 L s e n 2 n π x L d x

Integrando:

A n = q s ' ' k 2 L π - 1 n + 1 + 1 n x L 0

A n = q s ' ' k 2 π - 1 n + 1 + 1 n

Passo 5

Calculando a constante C n :

A n = C n   n π L   c o s h n π w L

C n = A n n π L   c o s h n π w L

Substituindo A n :

C n = q s ' ' k 2 π - 1 n + 1 + 1 n n π L   c o s h n π w L

C n = 2 q s ' ' L k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π w L

Passo 6

Calculando a distribuição de temperatura, θ x , y , para placas retangulares bidimensionais:

θ x , y = ∑ n = 1 ∞ C n   s e n n π x L   s e n h n π y L

Substituindo C n :

θ x , y = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' L k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π w L   s e n n π x L   s e n h n π y L

θ x , y = 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ q s ' ' L k n 2   - 1 n + 1 + 1 cosh ⁡ n π w L   s e n n π x L   s e n h n π y L

Passo 7

Letra a)

Consideraremos a placa com seção transversal quadrada:

w = L

Então, C n :

C n = 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π

E   θ x , y , considerando a temperatura máxima ocorrida no ponto médio da superfície superior, x = w 2 :

θ w 2 , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π   s e n n π w 2 w   s e n h n π w w

θ w 2 , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π   s e n n π 2   s e n h   n π

θ w 2 , w = T 2 , m á x - T 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k π 2   - 1 n + 1 + 1 n 2 - 1 n - 1 2   t a n h   n π

A equação da taxa de transferência de calor por condução se dá:

q = q s ' ' A

Sendo A = w d , então:

q = q s ' ' w d

Calcule o fator de forma máximo:

S m á x = q k T 2 , m á x - T 1

Substituindo os termos:

S m á x = q s ' ' w d k ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k π 2   - 1 n + 1 + 1 n 2 - 1 n - 1 2   t a n h   n π

S m á x = 4 d ∑ n = 1 ∞   - 1 n - 1 2 π 2 n 2   t a n h   n π - 1

Passo 8

Letra b)

Calculando a distribuição   de temperatura média, θ x , y , de placas retangulares bidimensionais:

θ x , y = 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ q s ' ' L k n 2   - 1 n + 1 + 1 cosh ⁡ n π w L   s e n n π x L   s e n h n π y L

Substituindo C n   e y = L = w :

θ x , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π   s e n n π x w   s e n h   n π

Integrando a equação em relação à x entre os limites de 0 e w :

θ x , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π   s e n h   n π ∫ 0 w s e n n π x w d x

θ x , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 2 n 2 cosh ⁡ n π   s e n h   n π cos ⁡ n π x w n π w 0

θ x , w = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 3 n 3 cosh ⁡ n π   s e n h   n π cos ⁡ 0 - cos ⁡ n π

θ x , w = T 2 ¯ - T 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 3 n 3 1 - - 1 n   t a n h   n π

Substituindo novamente na equação de fator de forma:

S m é d = q k T 2 ¯ - T 1

S m é d = q s ' ' w d k ∑ n = 1 ∞ 2 q s ' ' w k   - 1 n + 1 + 1 π 3 n 3 1 - - 1 n   t a n h   n π

S m é d = 8 d ∑ n = 1 ∞   1 π 3 n 3   t a n h   n π - 1

Passo 9

Letra c)

Calculando o fator de forma máximo:

S m á x = 4 d ∑ n = 1 ∞   - 1 n - 1 2 π 2 n 2   t a n h   n π - 1

S m á x d = 4 ∑ n = 1 ∞   - 1 n - 1 2 π 2 n 2   t a n h   n π - 1

Substituindo n = 1 :

S m á x d = 4 ∑ n = 1 ∞   - 1 0 π 2   t a n h   π - 1

S m á x d = 0,364 - 1 = 2,7

Passo 10

Calculando o fator de forma médio:

S m é d = 8 d ∑ n = 1 ∞   1 π 3 n 3   t a n h   n π - 1

S m é d d = 8 ∑ n = 1 ∞   1 π 3 n 3   t a n h   n π - 1

Substituindo n = 1 :

S m é d d = 8 ∑ n = 1 ∞   1 π 3   t a n h   π - 1

S m é d d = 0,258 - 1 = 3 , 7

Passo 11

Calculando a temperatura máxima:

S m á x = q k T 2 , m á x - T 1

S m á x = q s ' ' w d k T 2 , m á x - T 1

Isolando T 2 , m á x :

T 2 , m á x = q s ' ' w d S m á x k + T 1

Dados:

q s ' ' = 1000   W / m 2 ;

k = 20   W / ( m · K ) ;

S m á x d = 2,7 ;

w = 10   m m = 0,01   m ;

T 1 = 0 ° C .

Temos:

T 2 , m á x = 1000 ⋅ 0,01 2,7 ⋅ 20 + 0

T 2 , m á x = 0,19 ° C

Passo 12

Calculando a temperatura média:

S m é d = q k T 2 ¯ - T 1

S m é d = q s ' ' w d k T 2 ¯ - T 1

Isolando T 2 ¯ :

T 2 ¯ = q s ' ' w d S m é d k + T 1

Dados:

S m é d d = 3,7 ;

Temos:

T 2 ¯ = 1000 ⋅ 0,01 3,8 ⋅ 20 + 0

T 2 ¯ = 0,1 4 ° C

Resposta

a )   S m á x = 4 d ∑ n = 1 ∞   - 1 n - 1 2 π 2 n 2   t a n h   n π - 1

b )   S m é d = 8 d ∑ n = 1 ∞   1 π 3 n 3   t a n h   n π - 1

c )   S m á x d = 2,7

S m é d d = 3,8

T 2 , m á x = 0,19 ° C

T 2 ¯ = 0,14 ° C

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