Enunciado

Plantadores usam ventiladores gigantescos para evitar o congelamento de uvas quando a temperatura efetiva do céu é baixa. A uva, que pode ser vista como uma fina película, com resistência térmica desprezível que encerra um volume de água açucarada, está exposta ao ar ambiente e é irradiada pelo céu e pelo solo. Considere a uva uma esfera isotérmica com 15 mm de diâmetro e admita irradiação de corpo negro uniforme sobre os seus hemisférios superior e inferior devido às emissões do céu e da Terra, respectivamente.

  1. Deduza uma expressão para a taxa de variação da temperatura da uva. Expresse seu resultado em termos de um coeficiente convectivo e de temperaturas e grandezas radiantes apropriadas.
  2. Sob condições nas quais Tcéu = 235 K, T∞ = 273 K e o ventilador desligado (V = 0), determine se as uvas irão congelar. Com uma boa aproximação, a emissividade da película é igual a 1 e as propriedades termofísicas da uva são aquelas da água sem açúcar. Entretanto, devido à presença do açúcar, as uvas congelam a –5°C.
  3. Com todas as demais condições permanecendo sem alteração, com exceção do fato de que agora os ventiladores estão operando e proporcionando uma V = 1 m/s, as uvas irão congelar?

Passo 1

Fala aí! Partiu fazer essa questão e fortalecer nossos conhecimentos!

Vamos começar anotando nossos dados, ok?

T ∞ = 273   K V = 0   m / s → 1   m / s D = 15   m m → 0,015   m

T c é u = 235   K ε u v a = 1 T f ,   u v a = - 5 ° C → 268   K

Vamos precisar de alguns dados adicionais, podemos encontrar eles no apêndice do livro, tabela A-6, com T = 273   K :

c p = 4217   J / k g . K ρ = 1000   k g / m ³

E na tabela A-4, com T = 273   K :

v = 13,49   .   10 - 6   m ² / s k = 0,0241   W / m . K α = 18,9   .   10 - 6   m ² / s

P r = 0,714 β = 3,66   .   10 - 3   K   - 1

Prontinho! Vamos resolver agora!

Passo 2

Na letra a, vamos deduzir a expressão da variação de temperatura das uvas… Vamos lá!

Fazendo balanço de energia ficaremos com:

d E s t d t = ρ u v a   .   π   .   D 3 6   .   c p   .   d T u v a d t = h _   .   π   .   D ²   .   T ∞ - T u v a + π   .   D ² 2   .   G e a + G a t m - E   .   π   .   D ²

d T u v a d t = 6 ρ u v a   .   D   .   c p   .   h _   .   T ∞ - T u v a + σ   .   T e a 4 + T c é u 4 2 - ε u v a   .   T u v a 4

Pronto! Agora vamos para a letra b, que quer que a gente calcule para saber se nessas condições as uvas vão congelar…

Precisamos encontrar o h _ primeiro:

R a D = g   .   β   .   T ∞ - T u v a   .   D ³ α   .   v

R a D = 9,8   .   3,66   .   10 - 3   .   273 - 268   .   0,015 ³ 18,9   .   10 - 6   .   13,49   .   10 - 6

R a D = 2374

Usando a equação 9.35, vamos ficar com:

N u _ D = 2 + 0,589   .   R a D 1 / 4 1 + 0,469 P r 9 / 16 4 / 9

N u _ D = 2 + 0,589   .   2374 1 / 4 1 + 0,469 0,714 9 / 16 4 / 9

N u _ D = 5,17

Teremos então:

h _ = k   .   N u _ D D

h _ = 0,0241   .   5,17 0,015

h _ = 8,31   W / m ²   .   K

Agora simmm! Ficaremos com:

d T u v a d t = 6 1000   .   0,015   .   4217   .   8,31   .   273 - 268 + 5,67   .   10 - 8   .   273 4 + 235 4 2 - 268 4

d T u v a d t =   - 6,66   .   10 - 4   K / s

Então nossa uva, com d T u v a d t < 0 vai congelar!

Passo 3

Na letra c, vamos fazer o mesmo cálculo, mas agora com V = 1   m / s … Vamos lá!

Ficamos com:

R e D = V   .   D v

R e D = 1   .   0,015 13,49   .   10 - 6

R e D = 1112

Podemos achar então:

N u _ D = 2 + 0,4   .   R e D 1 / 2 + 0,06   .   R e D 2 / 3   .   P r 0,4

N u _ D = 2 + 0,4   .   1112 1 / 2 + 0,06   .   1112 2 / 3   .   0,714 0,4

N u _ D = 19,3

Teremos:

h _ = k   .   N u _ D D

h _ = 0,0241   .   19,3 0,015

h _ = 31   W / m ²   .   K

Pra fechar, vamos calcular:

d T u v a d t = 6 1000   .   0,015   .   4217   .   31   .   273 - 268 + 5,67   .   10 - 8   .   273 4 + 235 4 2 - 268 4

d T u v a d t =   - 0,016   K / s

Uhull! Mandamos muito bem!

Resposta

  1. d T u v a d t = 6 ρ u v a   .   D   .   c p   .   h _   .   T ∞ - T u v a + σ   .   T e a 4 + T c é u 4 2 - ε u v a   .   T u v a 4
  2. d T u v a d t =   - 6,66   .   10 - 4   K / s , com d T u v a d t < 0 a uva vai congelar.
  3. d T u v a d t =   - 0,016   K / s , as uvas vão congelar.
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