Enunciado

Ar a pressão atmosférica e a uma temperatura de 25 °C escoa paralelamente, com velocidade de 5 m/s, sobre uma placa plana com 1 m de comprimento que é aquecida com um fluxo térmico uniforme de 1250 W/m². Suponha que o escoamento seja turbulento ao longo de todo o comprimento da placa.

(a) Calcule a temperatura da superfície da placa, T s (L), e o coeficiente convectivo local, h x (L), na aresta de saída, x = L.

(b) Calcule a temperatura média da superfície da placa, T - s .

(c) Represente graficamente a variação da temperatura da superfície, T s (x), e do coeficiente convectivo, h x (L), com a distância no mesmo gráfico. Explique as características principais dessas distribuições.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar a letra (a) assumindo uma temperatura T f = 325   K , com isso, vamos recorrer à tabela A.4 do apêndice A para encontrar as propriedades de interesse do ar, então, teremos:

k = 0,0284   W / m . K

ν = 18,76 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,703

Agora, sabemos que a equação da taxa de calor transferido por convecção entre a placa e o ambiente pode ser escrita como:

q s ' ' = h x T s , x - T ∞

No entanto, na letra (a), estamos interessados na temperatura e coeficiente convectivo na aresta de saída, em x = L , então, a equação acima se torna:

q s ' ' = h L ( T s , L - T ∞ )

Isolando a temperatura superficial dessa equação, temos:

q s ' ' h L = T s , L - T ∞ → T s , L = q s ' ' h L + T ∞

Beleza! Como o enunciado nos disse que temos escoamento turbulento, então, o número de Nusselt será dado pela equação 7.46 vista nessa seção, que nos dá:

N u x = 0,0308 R e x 4 5 P r 1 3

Passo 2

Então, agora precisamos calcular o número de Reynolds na posição de interesse, em x = L. Lembrando da fórmula para o número de Reynolds, temos:

R e x = V x ν

Substituindo os valores conhecidos e o ponto x = L , temos:

R e L = 5 1 18,76 . 10 - 6 → R e L = 266524,5

Então, calculando o número de Nusselt em x = L, temos:

N u L = 0,0308 266524,5 4 5 0,703 1 3 → N u L = 599,96

Então, sabendo que o número de Nusselt pode ser escrito em função do coeficiente convectivo através da seguinte equação:

N u x = h x x k

Substituindo os valores de interesse em x = L , conseguimos encontrar o coeficiente convectivo nesse ponto, então, temos:

599,96 = h L 1 0,0284 → h L = 17,1   W / m 2 . K

E, com esse valor, podemos retornar à equação da temperatura superficial encontrada lá no passo 1 substituir os valores conhecidos, então, teremos:

T s , L = q s ' ' h L + T ∞ = 1250 17,1 + 25 → T s , L = 98,1   ° C

Passo 3

Agora, para a letra (b), como nós temos a temperatura no final da placa, podemos calcular a temperatura média através da seguinte equação:

T - s - T ∞ = 1 L ∫ 0 L T s - T ∞ d x

Agora, vamos substituir a expressão para a diferença de temperaturas, que vimos no passo 1, então a equação se torna:

T - s - T ∞ = 1 L ∫ 0 L q s ' ' h x d x

E, sabendo que o coeficiente convectivo pode ser escrito em função do número de Nusselt, conforme vimos no passo 2, a equação acima se torna:

T - s - T ∞ = 1 L ∫ 0 L q s ' ' x N u x k d x → T - s - T ∞ = q s ' ' L ∫ 0 L x k N u x d x

Agora, sabemos que o número de Nusselt pode ser escrito de acordo com a relação vista no passo 1, então temos:

T - s - T ∞ = q s ' ' L ∫ 0 L x 0,0308 R e x 4 5 P r 1 3 k d x

E, por fim, substituindo a expressão para Reynolds, chegamos na seguinte equação:

T - s - T ∞ = q s ' ' L ∫ 0 L x 0,0308 V x ν 4 5 P r 1 3 k d x

Observe que não podemos simplesmente simplificar os expoentes de x e resolver a integral, pois o número de Prandtl e o coeficiente de condução dependem da posição x da placa. Então essa integral só pode ser resolvida com o auxílio de um programa computacional (EES por exemplo). Então, colocando essa equação no software e os valores conhecidos, chegamos em:

T - s = 86   ° C

Passo 4

Agora, para a letra (c), nós temos que representar a variação da temperatura da superfície e a variação do coeficiente convectivo local no mesmo gráfico, para isso, vamos utilizar as equações já vistas nesse exercício. Para a temperatura da superfície iremos utilizar:

T s , x = q s ' ' h x + T ∞

E, para o coeficiente convectivo local, temos a relação com Nusselt, dada por:

N u x = h x x k

E, substituindo a expressão para Nusselt, temos:

0,0308 R e x 4 5 P r 1 3 = h x x k

E, agora, substituindo a expressão para Reynolds e isolando o coeficiente convectivo, temos:

0,0308 V x ν 4 5 P r 1 3 = h x x k → h x = 0,0308 V x ν 4 5 P r 1 3 k x

Então, calculando os valores para essas duas expressões e plotando no mesmo gráfico, temos:

Resposta

a :   h L = 17,1   W / m 2 . K

a :   T s , L = 98,1   ° C

T - s = 86   ° C

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