Enunciado

A pressão estática P é medida em duas posições ao longo da parede de uma camada limite laminar (Figura P10-68). As pressões medidas são P 1 e P 2 e a distância entre as tomadas de pressão é pequena comparada com a dimensão característica do corpo Δ x = x 2 - x 1 ≪ L . A velocidade do escoamento externo acima da camada limite no ponto 1 é U 1 . A densidade e a viscosidade do fluido são ρ e μ , respectivamente. Gere uma expressão aproximada para U 2 , a velocidade do escoamento externo acima da camada limite no ponto 2, em termos de P 1 , P 2 , Δ x , U 1 , ρ e μ .

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que devemos lembrar é que pela aproximação da camada limite, a pressão P é constante quando normal à camada limite, mas não é necessariamente constante ao longo do comprimento da camada limite. Então, com isso, para qualquer linha de corrente ao longo da camada limite, a pressão na região superior do escoamento externo é a mesma daquela na parede do escoamento.

Agora, aplicando a equação de Bernoulli para a região do escoamento externo, com o auxílio da equação 10-86 vista nesse capítulo, temos:

- U . d U d x = 1 ρ . d P d x → d U d x = - 1 ρ U . d P d x

Passo 2

Agora, para pequenos valores de Δ x , que é o nosso caso, conforme dito no enunciado, podemos aproximar a velocidade U 2 como:

U 2 ≅ U 1 + d U d x Δ x

Isolando a expressão d U / d x dessa expressão, chegamos em:

U 2 - U 1 = d U d x Δ x → d U d x = U 2 - U 1 Δ x

Da mesma forma, para pequenos valores de Δ x , a pressão P 2 pode ser escrita como:

P 2 ≅ P 1 + d P d x Δ x

Isolando a expressão d P / d x , chegamos em:

P 2 - P 1 = d P d x Δ x → d P d x = P 2 - P 1 Δ x

Passo 3

Agora então nós vamos substituir as expressões para U 2 e P 2 encontradas no passo 2 na expressão encontrada lá no passo 1, de modo que teremos:

d U d x = - 1 ρ U . d P d x → U 2 - U 1 Δ x = - 1 ρ U P 2 - P 1 Δ x

Isolando U 2 dessa expressão, chegamos em:

U 2 - U 1 = - P 2 - P 1 ρ U 1 → U 2 = U 1 - P 2 - P 1 ρ U 1

Prooonto! Chegamos na expressão que queríamos encontrar.

Resposta

U 2 = U 1 - P 2 - P 1 ρ U 1

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