Enunciado

O Problema 4.9 tratou do armazenamento de lixo radioativo no subsolo em recipientes esféricos. Em função das incertezas nas propriedades térmicas do solo, deseja-se medir a temperatura em regime estacionário usando-se um recipiente de teste (idêntico ao recipiente real), que é equipado com aquecedores elétricos em seu interior. Estime quanto tempo levará para o recipiente de teste estar a 10 ° C da sua temperatura de regime estacionário, supondo que ele esteja enterrado bem profundo. Na sua análise, use as propriedades do solo da Tabela A.3.

Passo 1

Nessa questãozitcha nós temos a taxa de geração da energia dentro de um recipiente esférico enterrado de tamanho conhecido. E queremos encontrar o tempo necessário para que a superfície da esfera chegue a 1 0 ° C da temperatura em estado estacionário.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que:

(1) O meio é infinito;

(2) As propriedades são constantes;

(3) A resistência de contato é desprezível entre a esfera e o solo.

A diferença de temperatura no estado estacionário pode ser obtida no caso 12 da Tabela 4.1 com:

L c = A s 4 π 1 2 = π D 2 4 π 1 2 = D 2

E,

q = k A s T 1 , s s - T 2 = 0,52 W m . K × π × 2   m 2 × T 1 , s s - T 2 = 500   W

Do qual o valor de k , assim como os valores de ρ e c , foi retirado da Tabela A.3 para o solo à T = 300   K . Assim, nós encontramos,

T 1 , s s - T 2 = 76,52   ° C

Então, no momento do interesse,

T 1 - T 2 = 76,52 ° C - 10 ° C = 66,52 ° C

Passo 3

Da Tabela 5.2b, para o caso da esfera e caixa externa, temos:

q * F o = q D 2 π D 2 k ( T 1 - T 2 ) = 1 1 - exp ⁡ F o e r f c   F o 1 2

Ou então,

1 1 - exp ⁡ F o e r f c   F o 1 2 = 500   W 2 π × 2   m × 0,52 W m . K × 66,52   K = 1,15

Resolvendo essa expressão, encontramos:

F o = 17,97

Passo 4

Sabendo que,

α = k ρ c p = 0,52 W m . K 1050 k g m 3 × 1840 J k g . K = 1,379 × 10 - 7 m 2 / s

Temos,

t = F o × D 2 2 α = F o D 2 4 α = 17,97 × 2   m 2 4 × 1,379 × 10 - 7 m 2 / s

t = 1,303 × 10 8 s × 1 d i a 24 h × 1 h 3600 s × 1 a n o 365 d i a s = 4,13   a n o s

Resposta

t = 4,13   a n o s

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