Enunciado

Um processo de fabricação envolve o aquecimento de longos bastões de cobre, que são revestidos com uma fina película, em um grande forno cujas paredes são mantidas a uma temperatura elevada T p . O forno contém gás nitrogênio quiescente a 1   a t m de pressão e a uma temperatura T ∞   =   T p . A película é uma superfície difusa com emissividade espectral ε λ =   0,9 para λ   ≤   2   μ m e ε λ   =   0,4 para λ   >   2   μ m .

(a) Considere condições nas quais um bastão com diâmetro D e temperatura inicial T i é inserido no forno, de maneira que seu eixo fica na posição horizontal. Admitindo válida a aproximação da capacitância global, deduza uma equação que possa ser usada para determinar a taxa de variação da temperatura do bastão no instante de sua inserção no forno. Expresse seu resultado em termos das variáveis apropriadas.

(b) Se T p   =   T ∞   =   1500   K , T i   =   300   K e D   =   10   m m , qual é a taxa inicial de variação da temperatura do bastão? Confirme a validade da aproximação através da capacitância global.

(c) Calcule e represente graficamente a variação da temperatura do bastão com o tempo durante o processo de aquecimento.

Passo 1

Fala aiiii, nessa questão nós temos o diâmetro, a temperatura inicial da barra de cobre, a temperatura da parede e do gás. Com isso, queremos encontrar a expressão para taxa inicial de alteração da temperatura da haste e a taxa inicial para condições prescritas. Vamos lá!

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir:

  1. Aplicabilidade da aproximação de capacitância concentrada;
  2. O forno se aproxima de uma cavidade do corpo negro;
  3. O filme fino é difuso e possui resistência térmica desprezível;
  4. As propriedades do nitrogênio se aproximam das do ar.

Aplicando a conservação de energia em um instante de tempo a uma superfície de controle em torno do cilindro,

E ˙ e n t - E ˙ s a i = E ˙ s t

Onde a entrada de energia é devida à convecção natural e à radiação da parede do forno e a saída de energia é causada por emissão. Portanto, para um comprimento de cilindro unitário,

q c o n v + q r a d , r e d e = ρ π D 2 4 c p d T d t

Onde,

q c o n v = h - ( π D ) ( T ∞ - T )

q r a d , r e d e = π D α G - ε E b = π D [ α E b ( T w ) - ε E b ( T ) ]

Então, em t = 0 ( T = T i ) ,

d T d t i = 4 ρ c p D h - T ∞ - T i + α E b T w - ε E b T i

Passo 3

Com,

R a D = g β T ∞ - T i D 3 α ν = 9,8   m / s 2 1 900 K 1200   K 0,01 m 3 100,3 × 139 × 10 - 12   m 4 / s 2 = 937

A correlação Churchill-Chu do capítulo 9 gera,

N u D - = 0 , 60 + 0,387   R a D 1 6 1 + 0 , 559 P r 9 16 8 27 2 = 2,58

h D - = N u D - k D = 2,58 × 0,0 597 W m . K 0,01 m = 15,4 W m 2 . K

Com,

T = T i = 300   K

λ   T = 6 00 μ m . K , F ( 0 → λ ) = 0

E nesse caso,

ε = ε 1 F ( 0 → λ ) + ε 2 1 - F 0 → λ = 0,4

Com,

T = T w = 1500   K

λ   T = 30 00 μ m . K , F ( 0 → λ ) = 0 , 273

Passo 4

Então com,

ε λ = α λ

α = ε 1 F ( 0 → λ ) + ε 2 1 - F 0 → λ = 0 , 537

Assim, temos que:

d T d t i = 20   K / s

O coeficiente de pseudo radiação é escrito como,

  h r   = α G   -   ε E b T w - T i   = 153,960 W m 2 1200 K   =   128,3   W / m 2 . K

  B i = h   +   h r D 4 k   =   143,7   W / m 2 ⋅ K   ( 0,0025   m ) 4 01   W / m ⋅ K   =   0,0009

Então, a aproximação da capacitância concentrada é apropriada.

Resposta

  1. d T d t i = 4 ρ c p D h - T ∞ - T i + α E b T w - ε E b T i
  2. d T d t i = 20   K / s
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