Enunciado

O processo isentrópico de um gás ideal é expresso como P ν k = c o n s t a n t e . Usando essa equação de processo e a definição da velocidade do som (Equação 12-9), obtenha a expressão da velocidade do som para um gás ideal (Equação 12-11).

Passo 1

Antes de tudo, vamos ver que equações são essas:

Equação 12-9:

c 2 = ∂ P ∂ ρ s

Equação 12-11:

c = k R T

Então o que a gente tem que fazer é sair da equação 12-9 e chegar na equação 12-11!

Passo 2

O enunciado diz que:

P ν k = c o n s t a n t e

Vamos chamar essa constante de C , sabendo que ν é o volume específico do gás e ele pode ser escrito como:

ν = V m = 1 ρ

Agora vamos reescrever a expressão que o problema deu pra a gente :

P = C × ρ k

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha na equação 12 - 9   pra ver o que a gente pode fazer:

c 2 = ∂ P ∂ ρ s

Se a gente derivar a expressão da pressão que terminamos de achar, em relação a ρ , podemos substituir na equação 12 - 9 :

∂ P ∂ ρ = ∂ C ρ k ∂ ρ = k C ρ k - 1

Podemos dar mais uma arrumadinha:

∂ P ∂ ρ = C k ρ k ρ

Substituindo na equação 12 - 9 :

c 2 = C k ρ k ρ

Mas:

P = C ρ k

Então:

c 2 = k P ρ

Passo 4

O problema diz que o gás é ideal, então podemos usar a lei dos gases ideais:

P = ρ R T

Substituindo:

c 2 = k ( ρ R T ) ρ = k R T

Tirando a raiz:

c = k R T

Vamos comparar com a equação 12 - 11 :

c = k R T

Uhuuuul!! Igualzinha!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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