Enunciado

Um quarto deve ser aquecido por um fogão de queima de carvão que tem cavidade cilíndrica com diâmetro externo de 50 cm e altura de 120 cm. A taxa de perda de calor do quarto é estimada em 1,5 kW quando a temperatura do ar na sala é mantida constante em 24 °C. A emissividade da superfície do fogão é 0,85, e a temperatura média das imediações e superfícies das paredes é 14 °C. Determine a temperatura da superfície do fogão. Despreze a transferência de calor da superfície inferior e tome o coeficiente de transferência de calor na superfície superior para ser o mesmo que na superfície lateral. O poder calorífico do carvão é 30000 kJ/kg, e a eficiência de combustão é 65%. Determine a quantidade de carvão queimado por dia, considerando que o fogão funciona 14 horas/dias.

Passo 1

Nosso primeiro objetivo é determinar a temperatura da superfície do fogão. Para isto, vamos considerar que toda a superfície do nosso fogão que troca calor possui a mesma temperatura.

A questão não deixa claro se o cilindro está em pé ou deitado. Entretanto, associando a noção básica de que um fogão deve estar em pé com o fato da superfície inferior não trocar calor, vamos assumir a configuração horizontal.

Esta configuração é fundamental para descobrirmos o coeficiente de transferência de calor h , e assim utilizarmos na relação de fluxo de calor (o qual já sabemos ser igual a 1500 W).

Para fazermos nossos cálculos, precisamos determinar a temperatura de filme, pois as propriedades do ar são obtidas nesta temperatura. Inicialmente, iremos chutar a temperatura da superfície do fogão igual a 86 °C. Com isto, a temperatura de filme é igual a T f = 86 + 24 / 2 = 55 ° C .

Ao final da questão iremos comparar se a temperatura obtida é aproximadamente o nosso chute inicial.

Passo 2

Portanto, vamos começar calculando o número de Grandt. Com ele, verificaremos se podemos considerar a nossa geometria como uma placa vertical. Portanto,

G r = g β T s - T ∞ L 3 ν 2 = 9,81 ⋅ 86 - 24 ⋅ 1,2 3 55 + 273 ⋅ 1,847 ⋅ 10 - 5 2 = 9,393 ⋅ 10 9

Agora, basta verificarmos a inequação abaixo:

D ≥ 35 L G r L 1 4 = 35 ⋅ 1,2 9,393 ⋅ 10 9 1 4 = 0 , 1 35   m

Como o diâmetro é maior que o valor calculado, podemos considerar o nosso cilindro como uma placa vertical. Continuando a nossa análise, temos:

R a = G r ⋅ P r = 1,834 ⋅ 10 10 ⋅ 0,7215 = 6,777 ⋅ 10 9

Utilizando a correlação correta para o número de Nusselt, temos:

N u = h L k 0,825 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,492 P r 9 / 16 8 / 27 2

h = k L ⋅ 0,825 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,492 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto,

h = 0,02772 1,2 ⋅ 0,825 + 0,387 ⋅ 6,777 ⋅ 10 9 1 / 6 1 + 0,492 0,7215 9 / 16 8 / 27 2

h = 5,17   W / m 2 ⋅ K

Passo 3

Agora, como temos o efeito da convecção e da radiação, temos a seguinte taxa de transferência de calor:

Q ˙ = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Q ˙ = h A s T s - T ∞ + ε σ A s T s 4 - T c i r 4

Vamos calcular a área da superfície agora:

A s = π D 2 4 + π D L = π 0,5 2 4 + π ⋅ 0,5 ⋅ 1,2

A s = 2,081   m 2  

Substituindo os valores das constantes na relação da taxa de transferência de calor, temos:

1500 = 5,17 ⋅ 2,081 ⋅ T s - 24 + 0 , 85 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ 2,081 ⋅ T s + 273 4 - 2 97 4

Resolvendo, vamos obter T s = 84,2 ° C , valor bem próximo do que consideramos. Então, não precisamos recalcular.

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos calcular agora a quantidade de carvão necessária. Portanto,

Q = Q ˙ ⋅ Δ t = 1500 ⋅ 14 ⋅ 3600 = 7,56 ⋅ 10 7   J

m c a r v ã o = Q / η C a l o r   d e   C o m b u s t ã o = 7,56 ⋅ 10 7 0,65 30000 ⋅ 10 3 = 3,877   k g

E assim finalizamos a questão

Resposta

A temperatura na superfície foi de 84,2 °C e a quantidade de carvão necessária foi 3,877 kg.

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