Enunciado

A queda de pressão entre duas tomadas separadas de 9 m, em um duto horizontal conduzindo água em escoamento completamente desenvolvido, é 6,9 kPa. A seção transversal do duto é um retângulo de 25 mm × 240 mm. Calcule a tensão de cisalhamento média na parede.

Passo 1

Neste problema é pedido a tensão de cisalhamento na parede de um duto de seção retangular, conforme Figura abaixo:

É conhecida as seguintes informações:

- queda de pressão ∆ p = 6,9   k P a ao longo de L = 9   m ;

- seção retangular com dimensões H = 25   m m e W = 240   m m .

Para obter a tensão de cisalhamento na parede do duto, será utilizada equação de Balanço de Quantidade de Movimento, aplicada apenas ao longo de x, segundo a expressão:

F x = F s x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ d ∀ + ∫ S C u ρ V → ∙ d A →

E será aplicada ao longo das seções 1 e 2, tendo como hipóteses:

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 );

- escoamento completamente desenvolvido ( u 1 = u 2 ) ;

- seção transversal constante ( A 1 = A 2 ) ;

- escoamento horizontal (força de campo nula - F B x = 0 ).

Passo 2

A partir das hipótese, a equação de balanço apresentada no Passo 1 pode ser escrita como:

F s x + 0 = 0 + ∫ S C 1 u ρ V → ∙ d A → + ∫ S C 2 u ρ V → ∙ d A →

F s x = - u 1 ρ 1 u 1 A 1 + u 2 ρ 2 u 2 A 2

Em função das hipóteses do problema, pode-se afirma que o fluxo de quantidade de movimento nas superfícies S C 1 e S C 2 são iguais:

u 1 ρ 1 u 1 A 1 = u 2 ρ 2 u 2 A 2

Logo:

F s x = 0

Passo 3

Sabendo que a equação de Balanço de Quantidade de Movimento se reduziu a:

F s x = 0

E que F s x representam as forças de superfície (força devido à pressão e à tensão de cisalhamento), então ela pode ser escrita como:

F s x = p 1 A 1 + τ w × A s u p e r f i a l   d o   t u b o - p 2 A 2 = 0

Nota: sinal positivo no sentido do eixo x.

p 1 ( W × H )   + τ w × W L + H L × 2 - p 2 ( W × H )   = 0

Então, isolando o termo τ w :

- τ w × W + H × 2 L = p 1 W × H - p 2 ( W × H )

- τ w × W + H × 2 L = ( W × H ) ( p 1 - p 2 )

Logo, a tensão de cisalhamento na parede do duto terá a forma:

τ w = - ( p 1 - p 2 ) ( W × H ) 2 L ( W + H )

Passo 4

Conhecida a expressão da tensão de cisalhamento na parede (obtida no Passo 3) e usando os valores numéricos fornecidos:

τ w = - 6,9 × 10 3 × 240 × 10 - 3 × ( 25 × 10 - 3 ) 2 × 9 × ( 240 × 10 - 3 + 25 × 10 - 3 )

É obtido o valor de τ w :

τ w = - 8,68   P a

Note que o sinal negativo de τ w indica que a tensão de cisalhamento atua no sentido contráro ao escoamento do fluido.

Resposta

τ w = - 8,68   P a

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