Enunciado

A ramificação de um vaso sanguíneo é mostrada. Sangue à pressão de 140 mmHg escoa no vaso principal a uma vazão de 4,5 L/min. Estime a pressão do sangue em cada ramo, considerando que os vasos comportam-se como tubos rígidos, que o escoamento é sem atrito, e que os vasos situam-se em um plano horizontal. Qual é a força gerada em um ramo pelo sangue? Você pode aproximar a massa específica do sangue em 1060 kg/m³.

Passo 1

Vamos começar o exercício encontrando a vazão Q 3 , já que tudo que entra em 1 sai em 2 e 3, então, temos:

Q 1 = Q 2 + Q 3 → Q 3 = Q 1 - Q 2 = 4,5 - 2 → Q 3 = 2,5   L / m i n

Agora vamos converter todas as vazões para m 3 / s :

Q 1 = 4,5 L m i n 1   m 3 1000   L 1   m i n 60   s → Q 1 = 75.10 - 6   m 3 / s

Q 2 = 2 L m i n 1   m 3 1000   L 1   m i n 60   s → Q 2 = 33,3 . 10 - 6   m 3 / s

Q 3 = 2 , 5 L m i n 1   m 3 1000   L 1   m i n 60   s → Q 3 = 41,7 . 10 - 6   m 3 / s

Agora, com as vazões, podemos encontrar as velocidades nas três seções:

Q 1 = v 1 A 1 → v 1 = Q 1 A 1 = Q 1 π D 1 2 4 = 75.10 - 6 π 0,01 2 4 → v 1 = 0,955   m / s

Q 2 = v 2 A 2 → v 2 = Q 2 A 2 = Q 2 π D 2 2 4 = 33,3 . 10 - 6 π 0,005 2 4 → v 2 = 1,7   m / s

Q 3 = v 3 A 3 → v 3 = Q 3 A 3 = Q 3 π D 3 2 4 = 41,7 . 10 - 6 π 0,00 3 2 4 → v 3 = 5,9   m / s

Passo 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada (1) e a saída (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = p 2 ρ + v 2 2 2

E, o enunciado nos deu a pressão p 1 em função de mm de Hg, então, para converter para Pascal, podemos fazer:

p 1 = S G H g ρ g h 1

Substituindo os valores conhecidos:

p 1 = 13,6 999 9,81 0,14 → p 1 = 18659,6   P a

E, substituindo esse valor e as velocidades conhecidas na equação de Bernoulli, temos:

18659,6 1060 + 0,955 2 2 = p 2 1060 + 1,7 2 2 → p 2 = 17 611,3   P a

Passo 3

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada (1) e a saída (3), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 3 ρ + v 3 2 2 + g z 3

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 3 . Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = p 3 ρ + v 3 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

18659,6 1060 + 0,955 2 2 = p 3 1060 + 5,9 2 2 → p 3 = 693,7   P a

Passo 4

Agora vamos aplicar a equação 4.18a para a quantidade de movimento na direção x para o sistema, que é dada por:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção x , de modo que F B x = 0 . Então a equação se torna:

R x + p 3 A 3 cos ⁡ 60 ° - p 2 A 2 cos ⁡ 45 ° = u 3 ρ v 3 A 3 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Devido a continuidade, sabemos que:

v 1 A 1 = Q 1 ;   v 2 A 2 = Q 2 ;   v 3 A 3 = Q 3

E, sabemos também que u 3 = - v 3 cos ⁡ 60 ° e u 2 = v 2 cos ⁡ 45 ° . Então, reescrevendo a equação para o equilíbrio de momento, temos:

R x + p 3 π D 3 2 4 cos ⁡ 60 ° - p 2 π D 2 2 4 cos ⁡ 45 ° = - ρ Q 3 v 3 cos ⁡ 60 ° + ρ Q 2 v 2 cos ⁡ 45 °

E, substituindo os valores conhecidos:

R x + 693,7 π 0,003 2 4 1 2 - 17611,3 π 0,005 2 4 2 2 = - 1060 41,7.10 - 6 5,9 1 2 + 1060 33,3.10 - 6 1,7 2 2

R x + 0,00245 - 0,2445 = - 0,1304 + 0,04243 → R x = 0,154   N

Passo 5

Agora vamos repetir o processo, só que aplicando a equação 4,18b e descobrindo o valor da reação em y :

F y = F S y + F B y = ∂ ∂ t ∫ V C   v ρ d V + ∫ S C   v ρ V → . d A →

No nosso caso, estamos com um regime permanente, então podemos desprezar a primeira integral com a derivada no tempo, vamos desprezar também a ação da força de campo na direção y , de modo que F B y = 0 . Então a equação se torna:

R y - p 3 A 3 sen ⁡ 60 ° - p 2 A 2 sen ⁡ 45 ° + p 1 A 1 = u 3 ρ v 3 A 3 + u 2 ( ρ v 2 A 2 )

Devido a continuidade, sabemos que:

v 1 A 1 = Q 1 ;   v 2 A 2 = Q 2 ;   v 3 A 3 = Q 3

E, sabemos também que u 3 = v 3 sen ⁡ 60 ° e u 2 = v 2 sen ⁡ 45 ° . Então, reescrevendo a equação para o equilíbrio de momento, temos:

R y - p 3 π D 3 2 4 sen ⁡ 60 ° - p 2 π D 2 2 4 sen ⁡ 45 ° + p 1 π D 1 2 4 = ρ Q 3 v 3 sen ⁡ 60 ° + ρ Q 2 v 2 sen ⁡ 45 °

E, substituindo os valores conhecidos:

R y + 693,7 π 0,003 2 4 3 2 - 17611,3 π 0,005 2 4 2 2 + 18659,6 π 0,01 2 4 = 1060 41,7.10 - 6 5,9 3 2 + 1060 33,3.10 - 6 1,7 2 2

R y + 0,00425 - 0,2445 + 1,465 = 0,2258 + 0,04243 → R y = - 0,956   N

Resposta

R x = 0,154   N

R y = - 0,956   N

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