Enunciado

Reconsidere o Problema 5 - 46 . Determine em quanto tempo a piscina será esvaziada completamente.

Passo 1

Bom, essa relação que usamos para encontrar o tempo em que a piscina esvazia por completo fizemos na questão 40 (pode dar uma olhadinha hein! :D), mas vamos explicar novamente!!

A vazão volumétrica é a área multiplicada pela velocidade ( v ˙ = A V 2 ). Assim, podemos expressar a quantidade de água saindo durante um instante de tempo através da derivação:

d v ˙ = v ˙ d t

A massa que sai é igual a que está dentro do tanque, pelo fato de esvaziar, ocorre uma diminuição de nível:

d v ˙ = - A d z

Igualando as expressões e substituindo as variáveis, temos:

v ˙ d t = - A d z

π D 2 4 × 2 g z 1 d t = - π D 0 2 4 d z

Isolamos o t :

d t = - D 0 2 D 2 1 2 g z 1 d z       ∴       d t = - D 0 2 D 2 2 g z 1 - 1 2 d z

Assim, podemos transformar em integral.

Passo 2

Vamos resolver nossa integral. Para isso, vale lembrar que o intervalo de tempo é t < t < 0 e a altura z f < z < z i , logo:

∫ 0 t 1 d t = - D 0 2 D 2 2 g ∫ z i z f z 1 - 1 2 d z

Resolvendo isso:

t = - D 0 2 D 2 2 g 2 z z i z f = - D 0 2 D 2 2 g 2 z f - z i

Passo 3

Como a piscina esvazia completamente, temos que z i = H e z f = 0 :

t = 2 D 0 2 D 2 2 g H - 0 = 2 D 0 2 D 2 2 g H

Agora substituímos os dados:

t = 2 × 10 2 0,03 2 2 × 9,8 m s 2 = 70986   s = 19,7   h

Prontinho!!

Resposta

19,7   h

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