Enunciado

Um refrigerador de névoa é usado para oferecer alívio para um atleta fatigado. Água a T i   =   10 ° C é injetada como uma névoa em uma corrente de um ventilador a uma temperatura ambiente de T ∞   =   32 ° C . O diâmetro das gotas é 100 μm. Para pequenas gotas o número de Nusselt médio é correlacionado por uma relação com a forma:

N u D - = h - D k = 2

  1. No tempo inicial, calcule a taxa de transferência de calor por convecção para a gota, a taxa de perda de calor devida a evaporação e a taxa de variação da temperatura da gota para dois valores da umidade relativa da corrente do ventilador, ф ∞   =   0,20 e 0,95. Explique o que está acontecendo com a gota em cada caso.
  2. Calcule a temperatura da gota em regime estacionário para cada um dos dois valores de umidade relativa na parte (a).

Passo 1

Faaaaaaaala galerinhaaa !!1

Animados para continuar?

Boom, na letra (a) nós queremos a taxa de transferência de calor por convecção, ou seja:

q " c o n v = h - A s T ∞ - T i

O que nós sabemos?

T ∞ = 32 ° C

T i = 10 ° C  

A s = π D 2 = π 100 × 10 - 6   m   2 = 3,14 × 10 - 8   m 2

O único valor que nós não temos aqui é o coeficiente médio de transferência de calor, h - .

Para isso nós vamos usar o número de Nusselt dado:

h - = 2 k D

Para a temperatura média, 294 K, nós podemos ir lá na Tabela A.4 e achar:

k = 0,0258 W m K

Substituindo:

h - = 2 0,0258 W m K 100 × 10 - 6   m = 516 W m 2 K

E agora nós vamos achar o calor por convecção:

q " c o n v = 516 W m 2 K 3,14 × 10 - 8   m 2 32 - 10 K

q " c o n v = 356 × 10 - 6     W

Passo 2

A letra (a) não pediu só isso, né?!

Também queremos a taxa de perda de calor devida a evaporação, certo?

E se lembram de como calculá-la?

q " e v a p = n A h f g = h m - A s h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

Para a temperatura da superfície, 283 K, nós podemos interpolar os dados da Tabela A.6:

ρ A ,   s = 0,00894 k g m 3

h f g = 2478 k J k g

c p = 4193 J k g K

Para a temperatura ambiente:

ρ A = 0,0336 k g m 3

Quando ф ∞ , 1 = 0 , 20 :

ρ A ,   ∞ ,   1 = 0,20 0,0336 k g m 3 = 0,0 0672 k g m 3

Quando ф ∞ , 2 = 0,95 :

ρ A ,   ∞ ,   2 = 0,95 0,0336 k g m 3 = 0,03192 k g m 3

O último dado que precisamos é o coeficiente de transferência de massa médio!!

Como o número de Nusselt é independente de Prandtl, podemos assumir que n = 0 :

N u P r n = S h S c n

N u = S h = 2

Como:

S h = h m - D D A B = 2

h m - = 2 D A B D

A Tabela A.8 nos trás o coeficiente de difusividade, para a temperatura da superfície, usando a relação dada na tabela:

D A B = 0,26 × 10 - 4 m 2 s × 294   K 298   K 3 2 = 0,255 × 10 - 4 m 2 s

Sendo assim:

h m - = 2 0,255 × 10 - 4 m 2 s 100 × 10 - 6   m = 0,51 m s

E substituindo na transferência de calor por evaporação:

q " e v a p ,   1 = 0,51 m s 3,14 × 10 - 8   m 2 2478 × 10 3 J k g 0,00894 k g m 3 - 0,00672 k g m 3

q " e v a p ,   1 = 88,1 × 10 - 6   W

E para o próximo valor de umidade:

q " e v a p ,   2 = 0,51 m s 3,14 × 10 - 8   m 2 2478 × 10 3 J k g 0,00894 k g m 3 - 0,03192 k g m 3

q " e v a p ,   2 = - 912 × 10 - 6   W

Aqui nós podemos concluir que para a primeira umidade vai haver evaporação, já que o calor está positivo! Enquanto na segunda o calor é negativo, os seja, está havendo condensação!!

Passo 3

A última informação que precisamos é a taxa de variação da temperatura da gota e para isso nós vamos usar a fórmula:

∂ T   ∂ t = q " c o n v - q " e v a p ρ c p V = q " c o n v - q " e v a p ρ c p π D 3 6

Lembrando que a densidade da água é 1000 k g m 3 :

∂ T   ∂ t = 356 × 10 - 6     W     - q " e v a p π 100 × 10 - 6   m 3 6 1000 k g m 3 4193 J k g K

Quando ф ∞ , 1 = 0,20 :

∂ T   ∂ t | ф ∞ , 1 = 356 × 10 - 6     W     - 88,1 × 10 - 6   W π 100 × 10 - 6   m 3 6 1000 k g m 3 4193 J k g K

∂ T   ∂ t | ф ∞ , 1 = 122 K s

Quando ф ∞ , 2 = 0,95 :

∂ T   ∂ t | ф ∞ , 1 = 356 × 10 - 6     W   + 912 × 10 - 6   W     π 100 × 10 - 6   m 3 6 1000 k g m 3 4193 J k g K

∂ T   ∂ t | ф ∞ , 2 = 578 K s

Passo 4

E para finalizar nós precisamos achar a letra (b), a temperatura da gota para cada um dos dois valores de umidade relativa na parte (a)!

q " c o n v = q " e v a p

Abrindo um pouco:

h - A s T ∞ - T s = h m - h f g A s ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

T ∞ - T s = h m - h - h f g ρ A ,   s - ρ A ,   ∞

Como temos estado estacionário a seguinte relação é valida:

h m - h - = D A B k

Portanto:

T ∞ - T s = D A B k h f g ρ A ,   s T s - ρ A ,   ∞

T s = T ∞ - D A B k h f g ρ A ,   s T s - ρ A ,   ∞

Como nós temos dentro da equação uma variável que depende da temperatura que queremos achar vamos precisar que o software IHT nos ajude a resolver.

O software vai gerar:

T s , 1 = 289   K

T s , 2 = 304   K

Nossa vida ia ser bem mais complicada sem os tão queridos softwares, não é?!

E chegamos ao fim de mais uma !!

Resposta

  1. q " c o n v = 356 × 10 - 6     W           q " e v a p ,   1 = 88,1 × 10 - 6   W   e   q " e v a p ,   2 = - 912 × 10 - 6   W         ∂ T   ∂ t ф ∞ , 1 = 122 K s         ∂ T   ∂ t | ф ∞ , 2 = 578 K s ;
  2. T s , 1 = 289   K     |     T s , 2 = 304   K .
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