Enunciado

Para refrigerar uma casa de verão sem usar um ciclo de refrigeração por compressão de vapor, ar é passado por um tubo plástico ( k = 0,15   W / m K , D i = 0,15   m , D e = 0,17   m ), que está submerso em um corpo de água próximo à casa. A temperatura da água no corpo de água é de T ∞ = 17 ° C e um coeficiente convectivo de h e = 1500   W / m 2 K é mantido na superfície externa do tubo.

Se o ar vindo da casa entra no tubo com uma temperatura de T m ,   e n t = 29 ° C e a uma vazão volumétrica V ˙ e n t = 0,025   m 3 / s , qual comprimento do tubo é necessário para se ter uma temperatura na sua saída de T m ,   s a i = 21 ° C ? Qual é a potência do soprador necessária para passar o ar através do comprimento do tubo, sendo sua superfície interna lisa?

Passo 1

Vamos começar esquematizando a situação. Temos ar a uma vazão de V ˙ e n t = 0,025   m 3 / s e temperatura T m ,   e n t = 29 ° C entrando um tubo submerso em água a uma temperatura de T ∞ = 17 ° C . Sabendo que a água proporciona um coeficiente convectivo externo de h e = 1500   W / m 2 K devemos encontrar qual é o comprimento L de tubo necessário para que o ar saia resfriado a T m ,   s a i = 21 ° C . Tudo bem?

Vamos começar analisando os mecanismos de transferência de calor envolvidos no processo. Teremos convecção externa entre a água e a superfície do tubo, condução na parede do tubo e convecção interna entre a parede interna da tubulação e o ar. Como temos vários mecanismos ocorrendo é conveniente expressar a taxa de transferência de calor em termos do coeficiente global:

q = U A ∆ T m l

Também iremos considerar que não há perdas de energia. Ou seja, toda a taxa de transferência de calor serve apenas para resfriar o ar. Então:

q = m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = U A ∆ T m l

Passo 2

Abrindo o termo ∆ T m l teremos:

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = U A ∆ T e n t - ∆ T s a i ln ⁡ ∆ T e n t ∆ T s a i

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = U A T m ,   e n t - T ∞ - T m ,   s a i - T ∞ ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

m ˙ c p T m ,   e n t - T m ,   s a i = U A T m ,   e n t - T m ,   s a i ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

m ˙ c p = U A ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

Deixando o termo U A em função da área interna do cilindro:

m ˙ c p = U i A i ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

m ˙ c p = U i π D i L ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

L = m ˙ c p U i π D i × ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

Temos agora uma expressão para obter o comprimento do tubo. Mas para isso, precisaremos antes calcular o coeficiente global U i . Vamos a ele.

Passo 3

O coeficiente global é calculado como:

1 U A = ∑ R T

Como queremos o coeficiente global em relação à área interna:

1 U i A i = ∑ R T

Para este problema temos três resistências térmicas envolvidas: convecção interna, condução e convecção interna. Para um duto cilíndrico elas são dadas por:

R c o n v ,   e x t = 1 h e A e

R c o n d = ln ⁡ D e D i 2 π k t u b o L

R c o n v ,   i n t = 1 h i A i

Antes de fazer a soma das resistências precisaremos calcular o coeficiente convectivo interno. Como primeiro passo, vamos transformar a vazão volumétrica de entrada em vazão mássica:

m ˙ = ρ V ˙ e n t

O ar entra a T m ,   e n t = 29 ° C . Nesta temperatura, de acordo com a tabela A-4 do apêndice A:

ρ = 1,155   k g / m 3

Então,

m ˙ = 1,155 × 0,025 = 0,0289   k g / s

Nosso próximo passo será calcular a temperatura média do ar e reunir suas propriedades nesta temperatura. A temperatura média é dada por:

T - m = T m ,   e n t + T m ,   s a i 2

T - m = 29 + 21 2

T - m = 25 ° C = 298   K

Para esta temperatura:

c p = 1007   J / k g K

μ = 183,6 × 10 - 7   N s / m 2

k = 0,0261   W / m K

P r = 0,707

A partir destes dados iremos calcular o coeficiente convectivo médio no interior da tubulação.

Passo 4

O próximo passo é o cálculo do número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D i μ

R e D = 4 × 0,0289 π × 0,15 × 183,6 × 10 - 7

R e D = 13349,6

Como R e D > 2300 , o escoamento é turbulento.

Para escoamento turbulento no interior de dutos cilíndricos:

N u - D = 0,023 R e D 0,8 P r 0,3

h i D i k = 0,023 R e D 0,8 P r 0,3

h i = k D i × 0,023 R e D 0,8 P r 0,3

h i = 0,0261 0,15 × 0,023 × 13349,6 0,8 × 0,707 0,3

h i = 7,2   W / m 2 K

Voltando para a equação do coeficiente global:

1 U i A i = ∑ R T = R c o n v ,   e x t + R c o n d + R c o n v ,   i n t

1 U i A i = 1 h e A e + ln ⁡ D e D i 2 π k t u b o L + 1 h i A i

1 U i = A i × 1 h e A e + ln ⁡ D e D i 2 π k t u b o L + 1 h i A i

1 U i = π D i L × 1 h e π D e L + ln ⁡ D e D i 2 π k t u b o L + 1 h i π D i L

1 U i = D i D e h e + D i ln ⁡ D e D i 2 k t u b o + 1 h i

1 U i = 0,15 0,17 × 1500 + 0,15 × ln ⁡ 0,17 0,15 2 × 0,15 + 1 7,2

1 U i = 0,202   m 2 K / W

U i = 4,95   W / m 2 K

Passo 5

Agora que encontramos que temos o coeficiente global podemos utilizá-lo para definir o comprimento da tubulação:

L = m ˙ c p U i π D i × ln ⁡ T m ,   e n t - T ∞ T m ,   s a i - T ∞

L = 0,0289 × 1007 4,95 × π × 0,15 × ln ⁡ 29 - 17 21 - 17

L = 13,7   m

Para finalizar o exercpcio temos ainda que calcular a potência do soprador necessária. A potência é dada por:

P = ∆ p V ˙

Em que ∆ p é a perda de carga devido ao escoamento. A perda de carga na tubulação pode ser calculada por:

∆ p = f L D i ρ v 2 2

Então, precisamos ainda calcular o fator de atrito e a velocidade de escoamento. O fator de atrito pode ser estimado através do número de Reynolds pela relação:

f = 0,790 ln ⁡ R e D - 1,64 - 2

f = 0,790 ln ⁡ 13349,6 - 1,64 - 2 = 0,0291

E avelocidade média é calculada a partir da vazão volumética por:

v = V ˙ A e s c

v = 0,025 ( π D i 2 / 4 ) = 1,415   m / s

Substituindo na relação de potência:

P = f L D i ρ v 2 2 V ˙

P = 0,0291 × 13,7 0,15 × 1,155 × 1,415 2 2 × 0,025

P = 0,077   W

Resposta

L = 13,7   m e P = 0,077   W .

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