Enunciado

Um produto alimentício líquido é processado em um esterilizador de fluxo contínuo. O líquido entra no esterilizador a uma temperatura e a uma vazão de T m ,   e n t ,   h = 20 ° C e m ˙ = 1   k g / s , respectivamente. Uma restrição tempo-temperatura requer que o produto seja mantido a uma temperatura média de T m = 90 ° C por 10   s para matar bactérias, enquanto a segunda restrição é que a temperatura local do produto não pode exceder T m á x = 230 ° C , de modo a preservar um gosto agradável. O esterilizador é constituído por uma primeira seção de aquecimento, L h = 5   m , caracterizada por um fluxo térmico uniforme, uma seção intermediária de esterilização que é isolada termicamente, e uma terceira seção, onde há resfriamento, com comprimento L c = 10   m . A seção de resfriamento, é composta por um tubo não isolado exposto a um ambiente, sem vento, a T ∞ = 20 ° C . O tubo do esterilizador tem parede delgada com diâmetro D = 40   m m . As propriedades do alimento são similares às da água líquida a T = 330   K .

(a) Qual fluxo térmico é necessário na seção de aquecimento para garantir uma temperatura média do produto máxima de T m = 90 ° C ?

(b) Determine a localização e o valor da temperatura local do produto máxima. A segunda restrição é satisfeita?

(c) Determine o comprimento mínimo da seção de esterilização necessário para satisfazer a restrição tempo-temperatura.

(d) Esboce a distribuição axial das temperaturas média, na superfície e na linha central, da entrada da seção de aquecimento até a saída da seção de resfriamento.

Passo 1

Temos um produto passando por um esterilizador contínuo. O equipamento possui três seções: aquecimento, esterilização e resfriamento. Para que o processo atinja seu objetivo, o produto tem que atingir uma temperatura média de T m = 90 ° C e não deve exceder a temperatura de 230 ° C .

O produto entra a T m ,   e n t ,   h = 20 ° C e vazão de m ˙ = 1   k g / s e, para o exercício podemos considerar que suas propriedades são iguais à da água a T = 330   K . De acordo com a tabela A-6, do apêndice A, as propriedades do produto serão:

μ = 489 × 10 - 6   N s / m 2

P r = 3,15

k = 0,65   W / m K

c p = 4184   J / k g K

ρ = 984   k g / m 3

Para o item (a) devemos determinar qual será o fluxo térmico necessário para garantir que o produto atinja a temperatura de T m = 90 ° C , ao final da seção de aquecimento.

Para isso, vamos começar com a consideração de que não há perda de energia no processo. Ou seja, todo o fluxo é convertido em aumento da temperatura do produto. Então:

q = m ˙ c p T m ,   s a i ,   h - T m ,   e n t ,   h

q ' ' A s = m ˙ c p T m ,   s a i ,   h - T m ,   e n t ,   h

q ' ' = m ˙ c p T m ,   s a i ,   h - T m ,   e n t ,   h A s

q ' ' = m ˙ c p T m ,   s a i ,   h - T m ,   e n t ,   h π D L h

q ' ' = 1 × 4184 × 90 - 20 π × 40 × 10 - 3 × 5 = 466133   W / m 2

Passo 2

Vamos agora para o item (b). Precisamos definir onde ocorre a temperatura máxima do produto.

Pela configuração do equipamento, podemos perceber que a temperatura do produto só irá aumentar durante a seção de aquecimento, até atingir uma temperatura máxima que irá se manter na zona de esterilização, que é isolada. A última seção é de resfriamento, então a partir dela a temperatura do produto deve diminuir. Portanto, devemos ter a temperatura máxima ao final da zona de aquecimento.

Além disso, o calor para aquecer o fluido vem das paredes, então, é esperado que a temperatura máxima seja atingida na superfície do tubo. Juntando estas duas informações, o ponto de temperatura máxima será no final da zona de aquecimento, na superfície do tubo.

Ainda no item (b), devemos obter a temperatura máxima. Para isso, vamos começar considerando que só há transferência de calor por convecção. Então:

q ' ' = q c o n v ' '

q ' ' = h T s - T m ,   s a i ,   h

T s = T m ,   s a i ,   h + q ' ' h

Chegamos a uma relação para obter a temperatura máxima, porém, ainda precisamos obter o coeficiente convectivo para este processo.

Para encontrar h , nosso próximo passo será calcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 1 π × 40 × 10 - 3 × 489 × 10 - 6

R e D = 65094

Como R e D > 2300 , o regime de escoamento é turbulento.

Para regime turbulento no interior de dutos cilíndricos:

N u D = h D k = 0,023 R e D 0,8 P r 0 , 4

h = k D × 0,023 R e D 0,8 P r 0 , 4

h = 0,65 40 × 10 - 3 × 0,023 × 65094 0,8 × 3,15 0 , 4

h = 4195,1   W / m 2 K

Substituindo na relação de temperatura:

T s = T m ,   s a i ,   h + q ' ' h

T s = 90 + 466133 4195,1

T s = 201,1 ° C

Como podemos ver T s = T m á x < 230 ° C . Então, a restrição de temperatura máxima é satisfeita.

Passo 3

Começaremos agora o item (c). Neste item, devemos obter o comprimento da seção de esterilização.

A restrição ligada a esta parte do equipamento é de que o produto deve ser mantido por t = 10   s . Sabemos que o fluido escoa com vazão m ˙ = 1   k g / s , então sua velocidade de escoamento no interior da tubulação é:

m ˙ = ρ v A e s c

v = m ˙ ρ A e s c

v = 4 m ˙ ρ π D 2

v = 4 × 1 984 × π × 40 × 10 - 3 2

v = 0,81   m / s

Então, para que o fluido se mantenha 10   s na zona de esterilização, o comprimento deve ser de :

v = x t

x = L e s t = v t

L e s t = 0,81 × 10 = 8,1   m

Passo 4

Por fim, o item (d) nos pede para esboçar as temperaturas média, na superfície e central para as três seções.

Vamos começar descrevendo qual é o comportamento esperado. Na zona de aquecimento, como dissemos anteriormente, o fluxo é proveniente da superfície do tubo, então, é de esperar que a temperatura da superfície seja a mais alta, além de possuir a maior taxa de crescimento. Por outro lado, a linha central é o ponto mais afastado da superfície, então, espera-se que a temperatura neste ponto seja a mais baixa, além de ser a que cresce com a menor taxa.

Na seção de esterilização temos que a parede da tubulação é isolada. Ou seja, não há transferência de calor entre o produto e o ambiente externo. Então, o esperado é que a temperatura média se mantenha constante, com as temperaturas da superfície e da linha central se aproximando do valor médio.

Na seção de resfriamento, teremos um comportamento análogo ao que discutimos na seção de aquecimento. Porém, desta vez a temperatura da superfície será a menor, por estar em contato com o ar frio e também terá a taxa de decrescimento de temperatura mais rápida. Em relação à temperatura da linha central, desta vez será a temperatura mais alta observada e a que resfria mais devagar, devido à ser o ponto mais afastado da superfície.

Então, as curvas de temperatura devem ser parecidas com:

Resposta

(a) q ' ' = 466133   W / m 2 .

(b) O ponto de temperatura máxima será no final da zona de aquecimento, na superfície do tubo; a temperatura máxima será T s = 201,1 ° C e, como podemos ver T s = T m á x < 230 ° C , então, a restrição de temperatura máxima é satisfeita.

(c) L e s t = 8,1   m .

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