Enunciado

A regra do produto pode ser aplicada ao divergente do escalar f vezes o vetor G → como: ∇ → . f G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → . Expanda ambos os lados desta equação em coordenadas cartesianas e verifique se está correta.

Passo 1

Faaaaaala galerinhaa !!

Vamos para mais umaa??

Sabendo que:

G → = G x i + G y j + G z k

∇ → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k

Portanto o divergente em coordenadas cartesianas serão:

∇ →   .   f G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . f G x i + G y j + G z k

∇ →   .   f G → = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . f G x i + f G y j + f G z k

Multiplicando os termos nas suas respectivas direções:

∇ →   .   G → = ∂ ∂ x f G x + ∂ ∂ y f G y + ∂ ∂ z f G z

Se lembram da Regra do Produto?

“Derivada da primeira vezes a segunda mais a derivada da segunda vezes a primeira!”

Vamos aplicar?

∇ →   .   G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Já achamos o primeiro termo da igualdade, vamos ver o segundo?

Passo 2

No segundo termo:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G →

Fazendo de maneira similar ao anterior:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x i + G y j + G z k . ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k + f ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k . G x i + G y j + G z k

Fazendo as multiplicações da mesma forma que no Passo 1:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + G y ∂ f ∂ y + G z ∂ f ∂ z + f ∂ G x ∂ x + ∂ G y ∂ y + ∂ G z ∂ z

= G x ∂ f ∂ x + G y ∂ f ∂ y + G z ∂ f ∂ z + f ∂ G x ∂ x + f ∂ G y ∂ y + f ∂ G z ∂ z

Reorganizando:

G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Portanto:

∇ →   .   G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

Até que foi legal, não foi?

Resposta

∇ →   .   G → = G → . ∇ → f + f ∇ → . G → = G x ∂ f ∂ x + f ∂ G x ∂ x + G y ∂ f ∂ x + f ∂ G y ∂ x + G z ∂ f ∂ x + f ∂ G z ∂ x

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