Enunciado

Repita a análise para o anemômetro sem atrito do Problema 9.106, porém agora baseie os cálculos do torque no modelo mais realista de que o torque médio é obtido pela integração, sobre um giro completo, do torque instantâneo gerado por taça (isto é, conforme a orientação da taça para o vento varia).

Passo 1

Calculando a área dos copos usando a relação:

A = π D 2 4

Sendo:

D = 50   m m = 0,05   m .

Temos:

A = π ⋅ 0,05 2 4 = 1,96 x 10 - 3   m 2

Obtemos os valores do coeficiente de arrasto pela Tabela 9.3:

C D a b e r t u r a = 1,42

C D s a í d a = 0,38

Passo 2

Calculando o componente normal da velocidade:

V n = V c o s   θ - ω R

Sendo que V  é a velocidade do vento.

À medida que os copos giram, a velocidade relativa é positiva ou negativa.

Desse modo, a equação da componente normal da velocidade passa a ser

θ C = acos ⁡ ω R V

Para:

0 < θ < θ c → V n > 0   e   C D a b e r t u r a

θ c < θ < 2 π - θ c → V n < 0   e   C D s a í d a

θ c < θ < 2 π → V n > 0   e   C D = C D a b e r t u r a

Passo 3

Escrevendo a equação para o torque:

T = F D ⋅ R = 1 2 ρ A V n 2 C D R

Escrevendo a equação para o torque médio:

T m é d i o = 1 2 π ∫ 0 2 π T d θ = 1 π ∫ 0 π T d θ

T m é d i o = 1 π ∫ 0 π 1 2 ρ A V n 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ 0 π 1 2 ρ A V n 2 C D s a í d a R d θ

Substituindo o valor de  V n na equação:

T m é d i o = 1 π ∫ 0 θ c 1 2 ρ A V c o s   θ - ω R 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ θ c π 1 2 ρ A V c o s   θ - ω R 2 C D s a í d a R d θ

Como k = V ω :

T m é d i o = 1 π ∫ 0 θ c 1 2 ρ A k   c o s   θ - R 2 C D a b e r t u r a R d θ - 1 π ∫ θ c π 1 2 ρ A k   c o s   θ - R 2 C D s a í d a R d θ

Integrando o termo:

∫ k cos ⁡ θ - R 2 d θ = k 2 1 2 cos ⁡ θ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ  

Considerando k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ  como  f ( θ ) .

Temos:

T m é d i o = ρ A R 2 π C D a b e r t u r a f θ - C D s a í d a f π - f θ

Para o estado estacionário, o torque exercido por cada copo é zero.

Então:

C D a b e r t u r a f θ - C D s a í d a f π - f θ = 0

f θ = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a f ( π )

Voltando f θ = k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ :

k 2 1 2 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 1 2 θ - 2 k R   s e n   θ + R 2 θ = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a f ( π )

Substituindo θ = cos - 1 ⁡ ω R V = cos - 1 ⁡ R k :

k 2 1 2 R k sen ⁡ cos - 1 ⁡ R k + 1 2 cos - 1 ⁡ R k - 2 k R   s e n   cos - 1 ⁡ R k + R 2 cos - 1 ⁡ R k = C D s a í d a C D a b e r t u r a + C D s a í d a ⋅ k 2 π 2 + R 2 π

Passo 4

Sendo:

R = 80   m m = 0,08   m ;

C D a b e r t u r a = 1,42 ;

C D s a í d a = 0,38 .

Temos:

k 2 1 2 0,08 k sen ⁡ cos - 1 ⁡ 0,08 k + 1 2 cos - 1 ⁡ 0,08 k - 0,16 k   s e n   cos - 1 ⁡ 0,08 k + 0,08 2 cos - 1 ⁡ 0,08 k = 0,38 1,42 + 0,38 ⋅ k 2 π 2 + 0,08 2 π

Resolvendo a equação usando os softwares para obter o valor de k :

k = 0,30   m

k = 0,114   k m h / r p m

Portanto, a constante de calibração é 0,114   k m h / r p m .

Resposta

k = 0,114   k m h / r p m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma nova pizzaria está para ser inaugurada. Naturalmente, eles vão oferecer serviço gratuito de entrega e, portanto, precisam de um pequeno carro de entrega com um grande letreiro de anúncio fixado. O
Ar a 20°C e 1 atm escoa a Vméd = 5 m/s entre placas paralelas lisas e longas de um trocador de calor, separadas de 10 cm, como na Figura PA7.2. Propõe-se adicionar um número muito grande de placas int
Os dados bidimensionais de sustentação e arrasto para o aerofólio Naca 2412 com 2% de arqueamento (da Referência 12) podem ser ajustados com precisão pelas seguintes fórmulas: C S = 0,178 + 0,109 α -
Um barco fluvial com 400 kg de massa é suportado por um hidrofólio retangular com razão de aspecto 8, 2% de arqueamento e 12% de espessura. Se o barco navega a 7 m/s e a 5 2,5o, avalie (a) o comprimen
PP7.1 – Deseja-se projetar um anemômetro de concha para medir a velocidade do vento, semelhante ao da Fig. P7.91, com uma abordagem mais sofisticada que a do método do “torque médio” do Problema 7.91.