Enunciado

PP7.1 – Deseja-se projetar um anemômetro de concha para medir a velocidade do vento, semelhante ao da Fig. P7.91, com uma abordagem mais sofisticada que a do método do “torque médio” do Problema 7.91. O projeto deve alcançar uma relação aproximadamente linear entre velocidade do vento e velocidade de rotação, na faixa de 32

Passo 1

Vamos começar formulando as hipóteses que podem ser feitas.

Vamos lembrar que o arrasto é a perda de escoamento de um fluxo de um fluido que se atrita com um determinado corpo se está submerso neste fluido.

O arrasto é diretamente proporcional ao ângulo θ, e também diretamente proporcional a velocidade linear do escoamento do fluido, U. O ângulo em questão influenciará diretamente no padrão de escoamento do fluido que variará conforme o tempo decorre, pois o ângulo se altera com o tempo, assim, para certos valores de θ, o arrasto promoverá um escoamento do tipo laminar, enquanto para certos outros valores de θ, o arrasto fornecerá um escoamento turbulento.

Assim, com diferentes padrões de escoamento, haverá diferentes correlações para se determinar o coeficiente de arrasto e coeficiente de pressão, que tornará os cálculos mais complexos. Uma hipótese apropriada que se pode fazer é considerar o escoamento como não viscoso, simplificando assim a modelagem relacionada ao arrasto.

Passo 2

Vamos agora determinar uma expressão para o torque instantâneo, T(t).

Vamos relembrar que o torque é definido pela seguinte relação matemática:

T = r F

Onde, r é raio de torção e F é a força aplicada que gera a torção.

Em um elemento diferencial, então, pela relação anterior, podemos escrever o diferencial do torque como:

d T = r d F

Assim, o torque total será:

T = ∫ r d F

Onde, F para este caso é a força de arrasto que é dada pela seguinte equação:

F = C A ρ 2 U 2 D  

Onde, U é a velocidade linear que é expressa em função da velocidade de rotação

U =   Ω r

Logo,

F = C A ρ 2 Ω r 2 D  

Diferenciando:

d F = C A ρ 2 Ω r 2 D   d r

Assim,

T = ∫ 0 R r C A ρ 2 Ω r 2 D d r

T = ∫ 0 R C A ρ 2 Ω 2 D r 3 d r

Passo 3

Integrando a equação anterior vamos chegar que:

T = 1 8 C A ρ Ω 2 D R 4

O coeficiente de arrasto dependerá do ângulo θ pela seguinte expressão

C A = 1 - 4 s e n 2 ( θ )

Onde

θ = θ ( t )

Assim,

T t = 1 8 1 - 4 s e n 2 θ t ρ Ω 2 D R 4

Resposta

T t = 1 8 1 - 4 s e n 2 θ t ρ Ω 2 D R 4

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