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Um reservatório retangular de 28 cm de altura, 18 cm de comprimento e 18 cm de largura suspenso em uma sala a 24 °C é inicialmente preenchido com água fria a 2 °C. A temperatura da superfície do reservatório é quase a mesma que a da água em seu interior. A emissividade da superfície do reservatório é 0,6, e a temperatura das superfícies em torno é praticamente a mesma que a do ar. Determine a temperatura da água no reservatório após 3 horas e a taxa média de transferência de calor para a água. Considere que o coeficiente de transferência do calor sobre as superfícies superior e inferior é o mesmo que o das superfícies laterais.

Passo 1

Vamos lá! É sempre importante começarmos pela colocação das nossas hipóteses do problema!

Nesta questão temos uma operação de convecção natural, em regime permanente, não consideraremos os efeitos da radiação, o ar é considerado um gás ideal e as suas propriedades são constantes, e, por fim, o coeficiente de transferência de calor por todas as superfícies do reservatório são iguais!

Vamos entender o que está acontecendo agora com o nosso sistema.

Temos a transferência de calor do ar para o reservatório (devido ao gradiente de temperatura). Com o tempo, ao absorver calor, a água começa a aquecer, como pode ser descrito a partir da seguinte equação:

Q = m c p T 2 - T 1 = ρ V c p T 2 - T 1

Q = 1000 ⋅ 4214 ⋅ 0,28 ⋅ 0,18 ⋅ 0,18 ⋅ T 2 - 2

Q = 38,23 ⋅ 10 3 ⋅ T 2 - 2

Percebam que o cálculo acima foi aproximado ao obtermos as propriedades da água em 2 °C. Continuando, o fluxo de calor no período de 3 horas é:

Q ˙ = Q Δ t = 38,23 ⋅ 10 3 ⋅ T 2 - 2 3 ⋅ 3600 = 3 , 54 ⋅ T 2 - 2

E quem é essa temperatura? E quem é o fluxo? Temos que descobrir alguma forma de calculá-los!

Passo 2

Nosso passo agora é encontrar outra relação para determinarmos o fluxo de calor. Para isto, basta lembrarmos que o nosso sólido está sob o efeito de convecção e radiação.

Logo, vamos começar definindo o coeficiente h para calcularmos o termo de convecção. Para isto, precisamos correlacionar com o número de Nusselt. E para isto, precisamos calcular o número de Rayleigh.

Portanto, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

Em relação a obtenção da viscosidade e o número de Prandt, iremos obter através da tabela A-15 ao utilizarmos a temperatura do filme. Vamos assumir que a temperatura da superfície é 10 °C (após o aquecimento).

Portanto, a temperatura de filme é dada por T f = 10 + 24 / 2 = 17   ° C através da tabela A-15, temos:

R a L = 9,81 ⋅ 2 4 - 10 ⋅ 0,28 3 17 + 273 ⋅ 1 , 489 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,73 17 = 3 , 43 ⋅ 10 7

Percebam que a temperatura T f utilizada no β tem que estar em Kelvin!

Lá na tabela 9-1, na parte de placa vertical (a qual aproximaremos toda a nossa geometria para este caso), vamos utilizar a relação mais complexa, mas mais precisa, a fim de diminuir os erros associados as nossas aproximações. Portanto,

N u = h L c k = 0 , 825 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0 , 492 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 0,825 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,492 P r 9 / 16 8 / 27 2 2

h = 0,0 2491 0,28 ⋅ 0 , 825 + 0,387 ⋅ 3 , 43 ⋅ 10 7 1 / 6 1 + 0 , 492 0,73 17 9 / 16 8 / 27 2

h = 3,96   W / m 2 ⋅ K

Novamente, percebam que a condutividade térmica do ar foi obtida da tabela A-15.

Passo 3

Utilizando o coeficiente h , sabemos então que a nossa transferência de calor é:

Q ˙ = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Q ˙ = h A T ∞ - T m + ε σ A T c i r c 4 - T m 4

A área de superfície é a área de toda o sólido, e é dada por:

A = 2 ⋅ 0.18 2 + 2 ⋅ 0,28 ⋅ 0,18 = 0,2664   m 2

Além disto, a temperatura T m seria o equivalente a temperatura média da superfície durante todo o aquecimento. Portanto, ela é dada por T m = T 2 + T 1 / 2 .

Percebam que este T 2 é aquela temperatura do fluxo lá do Passo 1 e também a temperatura da superfície que supomos ser igual a 10 no Passo 2.

Continuando nossa equação, temos:

Q ˙ = 3,96 ⋅ 0,2664 ⋅ 24 - T 2 + 2 2 + 0,6 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ 0,2664 ⋅ 24 + 273 4 - T 2 + 2 2 + 273 4

Se igualarmos esta relação com a do passo 1, descobrimos que:

T 2 ≈ 11   ° C

O que é um valor aproximado de 10 °C! Além disto, o fluxo de calor médio é:

Q ˙ = 32   W

Resposta

A temperatura aproximada é de 11 °C e o fluxo de calor médio de 32 W.

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