Enunciado

A resistência e a estabilidade de pneus podem ser melhoradas pelo aquecimento de ambos os lados da borracha (k = 0,14 W/(m · K), α = 6,35× 10−8 m2/s) em uma câmara de vapor na qual T∞ = 200°C. No processo de aquecimento, uma parede de borracha com 20 mm de espessura (suposta não frisada) é levada de sua temperatura inicial de 25°C até uma temperatura no plano central de 150°C.

(a) Se o escoamento do vapor sobre as superfícies do pneu mantém um coeficiente convectivo de h = 200 W/(m2 · K), quanto tempo será necessário para se atingir a temperatura desejada no plano central?

(b) Para acelerar o processo de aquecimento, recomenda-se que o escoamento do vapor seja feito com vigor suficiente a fim de manter as superfícies do pneu a uma temperatura de 200°C durante todo o processo. Calcule e represente graficamente as temperaturas no plano central e nas superfícies do pneu para esse caso, assim como para as condições da parte (a).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos um pneu sendo aquecido em uma câmara de vapor de uma temperatura de 25 a 150 ° C no centro da do pneu. Podemos, então, modelar esse pneu como uma placa plana sofrendo uma transferência de calor transiente com convecção, como demonstra a imagem abaixo:

Por isso, se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos modelar a temperatura adimensional no plano central ( x * = 0 ) a partir da equação:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T 0 a temperatura no centro depois do tempo decorrido, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

Pra resolver a primeira parte do problema, devemos calcular o tempo necessário para a temperatura no centro atingir 150   ° C .

Por fim, devemos traçar um gráfico comparativo da evolução da temperatura do centro e da superfície para as condições anteriores e para uma condição em que a temperatura da superfície é de 200 ° C . Devemos usar a seguinte equação para modelar a temperatura adimensional na superfície ( x * = L L = 1 ):

ϴ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) c o s ⁡ ( ζ 1 x * )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T S a temperatura na superfície do pneu, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 25   ° C ,   T ∞ = 200   ° C   e   T 0 =   150   ° C L = 10   m m = 0,01   m   k   =   0,14 W m . K ,   α   = 6,35 x 10 - 8 m 2 s h   =   200 W m ²   ·   K

Passo 2

Vamos resolver o item (a).

Primeiro, devemos calcular o número de Biot para o problema:

B i =   h L k =   200 W m ²   ·   K 0,01   m   0,14 W m . K =   14,3  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 para a parede plana. Como podemos ver na tabela, não temos o valor de B i =   14,3   tabelado. Devemos, então, fazer uma interpolação entre os valores de B i = 1 0 , 0 e B i = 2 0 , 0 :

B i   = 1 0 , 0 →   ζ 1 = 1,4289       C 1 = 1,2620

B i   = 2 0 , 0 →   ζ 1 = 1,4961     C 1 =   1,2699

Portanto, interpolando:

B i   = 14,3 →   ζ 1 = 1,4578     C 1 = 1,2654

Vamos deixar o número de Fourier em função do tempo t :

F o = α t L ² =     6,35 x 10 - 8 m 2 s t ( 0,01   m ) ² = 6,35 x 10 - 4 t

Vamos substituir os valores que encontramos no Passo 2 na primeira equação que deduzimos no Passo 1:

ϴ 0 * = 1,2654 exp ⁡ - 1,4578 2 6,35 x 10 - 4 t = ( 1,2654 ) exp ⁡ - 1 , 35 x 10 - 3 t

Além disso, devemos lembrar que:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   150   ° C - 200   ° C 25   ° C - 200   ° C   = 0 , 2857

Igualando os dois resultados:

( 1,2654 ) exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t =   0,2857   → exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t =   0,2258

Vamos aplicar l n em ambos os lados da equação:

l n ⁡ ( exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t ) =   l n ⁡ ( 0,2258 ) → - 1,35 x 10 - 3 t = - 1 , 4881 → t = 1102   s

Vamo agora calcular o número de Fourier pra confirmar que nossa suposição de tempos longos tá certa:

F o = 1,35 x 10 - 3 ( 1102   s ) = 1,49 > 0,2

Logo, nossa suposição estava certa.

Passo 3

Vamos finalizar a questão resolvendo o item (b).

Para as condições do item (a), vamos escrever dois modelos em função do tempo, um da temperatura da superfície ( T S , a ) e um da temperatura do centro ( T 0 , a ):

T S , a ( t ) = 200 + ( 25 - 200 ) ( 1,2654 ) exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t c o s ⁡ ( ( 1,4578 ) 1 )

→ T S , a t = 200 - 24,97 exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t

T 0 , a ( t ) = 200 + ( 25 - 200 ) ( 1,2654 ) exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t

→ T 0 , a ( t ) = 200 - 221,45 exp ⁡ - 1,35 x 10 - 3 t

Além disso, devemos calcular o valor de h para uma condição de temperatura na superfície T S , b = 200   ° C , a partir da equação abaixo:

200   ° C - 200   ° C 25   ° C - 200   ° C =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) c o s ⁡ ( ζ 1 ( 1 ) ) → 0 =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) c o s ⁡ ( ζ 1 )

Sabemos que   C 1 ≠ 0 e e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o ) ≠ 0 , portanto, obtemos:

cos ⁡ ζ 1 =     0

Se aplicarmos   c o s - 1 a ambos os lados da equação:

c o s - 1 cos ⁡ ζ 1 =   c o s - 1 0 →   ζ 1 = 1,5708

Se formos na Tabela 5.1 para a parede plana, temos que para ζ 1 = 1,5708 , encontramos:

ζ 1 = 1,5708 →     C 1 = 1,2733   B i   → ∞

Como B i   → ∞ , h → ∞ , influenciando na temperatura da superfície do pneu.

Agora sim, podemos deixar a temperatura do centro nessas condições ( T 0 , b ) em função do tempo:

T 0 , a ( t ) = 200 + ( 25 - 200 ) 1,2733 exp ⁡ - 1,5708 2 6,35 x 10 - 4 t

→ T 0 , a ( t ) = 200 - 222,83 exp ⁡ - 1 , 5 7 x 10 - 3 t

Agora podemos ir no Excel e plotar essas equações em função do tempo indo de 0 a 1102   s , que é o tempo de processo que calculamos no passo anterior:

Resposta

(a) O tempo necessário para a temperatura no plano central atingir 150   ° C   é   t = 63,79   s .

(b)

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